O teorema de Tales indica que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, formam segmentos proporcionais.
Uma importante aplicação do teorema de Tales é em semelhança de triângulos, empregado em muitas situações do cotidiano.
Aproveite a lista de exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante teorema da geometria.
Questões de Concurso Resolvidas
1) Cefet/MG - 2017
A figura a seguir é um esquema representativo de um eclipse lunar em que a Lua, a Terra e o Sol estão representados pelas circunferências de centros C1, C2 e C3, respectivamente, que se encontram alinhados. Considera-se que a distância entre os centros da Terra e do Sol é 400 vezes maior que a distância entre os centros da Terra e da Lua e que a distância do ponto T na superfície da Terra ao ponto S na superfície do Sol, como representados na figura, é de 150 milhões de quilômetros.
Sabendo-se que os segmentos de reta são paralelos, a distância do ponto L, representado na superfície da Lua, ao ponto T, na superfície da Terra, é igual a
a) 375.000 Km. b) 400.000 Km. c) 37.500.000 Km. d) 40.000.000 Km.
A situação pode ser representada conforme a figura abaixo:
Como os segmentos de reta são paralelos, pelo teorema de Tales temos a seguinte proporção:
Alternativa: a) 375.000 Km.
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Teorema de Tales2) Epcar - 2018
Observe a figura a seguir:
Nela, as retas a, b, c e d são paralelas e são interceptadas pelas retas transversais r, s e t.
Assim, as medidas dos segmentos, em cm, são:
A soma , em cm, é dada por um número divisível por
a) 3 b) 4 c) 7 d) 11
Observando a imagem, identificamos que:
Para encontrar esses valores, vamos separar na figura os segmentos proporcionais e aplicar o teorema de Tales.
Iniciaremos calculando o valor de y. Para tal, assinalamos os valores conhecidos, conforme indicado abaixo:
Observando a figura, notamos que:
Aplicando o teorema de Tales:
Para encontrar o valor de m, vamos utilizar a seguinte proporção:
Agora que conhecemos o valor do m, podemos encontrar o valor de z usando a seguinte proporção:
Somando os valores encontrados, temos:
27 é um número divisível por 3, pois 3.9 = 27.
Alternativa: a) 3
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Retas Paralelas3) Cefet/MG - 2014
Considere a figura em que
O valor de x é
a) 3. b) 4. c) 5. d) 6.
Para encontrar o valor do x, iremos aplicar o teorema de Tales. O cálculo será feito utilizando a seguinte proporção:
Alternativa: b) 4
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Razão e Proporção4) Colégio Pedro II - 2012
Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura.
Considere que
- os pontos A, B, C e D estão alinhados;
- os pontos H, G, F e E estão alinhados;
- os segmentos são, dois a dois, paralelos entre si;
- AB = 500 m, BC = 600 m, CD = 700 m e HE = 1980 m.
Nessas condições, a medida do segmento é, em metros,
a) 665. b) 660. c) 655. d) 650. e) 645.
Os segmentos indicados são dois a dois paralelos entre si, então, pelo teorema de Tales, sabemos que formam um proporção.
Como o valor informado foi do segmento , que é a soma dos segmentos , utilizaremos também a soma dos segmentos (500 + 600 + 700 = 1800 m).
Assim, temos a seguinte proporção:
Alternativa: b) 660
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Tales de Mileto5) Enem - 2009
A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.
Podemos representar a situação proposta no problema conforme a figura abaixo:
Note que as duas alturas indicadas formam um ângulo de 90º com o solo, desta forma, essas duas retas são paralelas.
Considerando o solo e a rampa duas retas transversais a essas retas paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales.
Para isso, usaremos a seguinte proporção:
Como queremos descobrir quanto ainda falta para a pessoa caminhar, devemos fazer:
x = 8,8 - 3,2 x = 5,6 m
Alternativa: d) 5,6 metros
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Exercícios de Trigonometria6) PUC/Campinas - 2007
Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas entre si
Se AC = x, BC = 8, DE = 15, EF = x - 10, GI = y e HI = 10, então x + y é um número
a) maior que 47 b) entre 41 e 46 c) menor que 43 d) quadrado perfeito e) cubo perfeito
Primeiro, vamos encontrar o valor do x usando os seguintes segmentos:
Pela figura, identificamos que o segmento AB é igual a x - 8, desta forma, aplicando o teorema de Tales, temos a seguinte proporção:
Como o valor do x representa a medida de um segmento, vamos desconsiderar o valor negativo.
Podemos agora calcular o valor do y. Substituindo o valor encontrado para x, temos a seguinte figura:
Assim, a soma de x e y será igual a:
x + y = 20 + 25 = 45
Portanto, a resposta é um número entre 43 e 46.
Alternativa: b) entre 41 e 46
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Equação do Segundo Grau7) Cefet/PR - 2006
O jardineiro Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e flores onde as divisões são todas paralelas à base.
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente:
a) 30 cm e 50 cm. b) 28 cm e 56 cm. c) 50 cm e 30 cm. d) 56 cm e 28 cm. e) 40 cm e 20 cm.
Sendo todas as divisões paralelas, os segmentos formados são proporcionais, então, usaremos as seguintes proporções:
Alternativa: b) 28 cm e 56 cm.
Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Semelhança de Triângulos Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.