Tronco de cone de bases paralelas é um sólido obtido quando se intercepta um cone por um plano paralelo ao plano da base e se descarta o cone menor formado.
Alguns elementos do tronco de cone
- R é o raio da base maior.
- r é o raio da base menor.
- h é a altura do tronco de cone.
- g é a geratriz do tronco de cone.
É possível obtermos que é válido que: g^2 = h^2 + (R ? r)^2
Considerando os dados indicados no tronco de cone acima, temos também que:
Volume do tronco de cone de bases paralelas (V):
V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)
Área lateral do tronco de cone (A_l) de bases paralelas:
A_l = \pi \cdot g(r+R)
Tais expressões são obtidas pela semelhança do cone original com o cone menor criado a partir do corte feito pelo plano da definição.
Exemplo:
(FUVEST) As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raios de 6 cm e 3 cm. Sabendo que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases, calcule:
- a) altura do tronco de cone.
- b) volume do tronco de cone
Resposta:
a) O enunciado diz que "área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases". Sendo A1 e A2 as áreas dos círculos da base de raios 6 cm (R) e 3 cm (r), respetivamente. Temos:
A_1 + A_2 = A_l
A_1 = \pi R^2 = \pi 6^2 = 36\pi
A_2 = \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi
A_l = A_1 + A_2 = 36\pi + 9\pi = 45\pi
A_l = \pi \cdot g(r+R) = \pi \cdot g(3+6) = \pi \cdot g \cdot 9
Logo: 45\pi = \pi \cdot g \cdot 9.
Portanto: g = 5 cm
Pede-se a altura do tronco de cone (h), para isso, utilizamos a relação g^2 = h^2 + (R - r)^2:
5^2 = h^2 + (6-3)^2
5^2 = h^2 + 3^2
25 = h^2 + 9
25 - 9 = h^2
16 = h^2
h = \sqrt{16} = 4
Portanto, h = 4 cm.
b) Temos que h = 4 cm, R = 6 cm e r = 3 cm. Basta usar a expressão para volume:
V = \frac{\pi \cdot h}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r+r^2)
V = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot (6^2 + 6 \cdot 3+3^2)
V = \frac{4\pi}{3} \cdot (36+18+9)
V = \frac{4\pi \cdot 63}{3}
V = 84 \pi cm^3