Estude com os 11 exercícios sobre multiplicação de matrizes, todos com resolução passo a passo para você tirar suas dúvidas e se sair bem nas provas e vestibulares.
Dadas as seguintes matrizes, marque a opção que indica apenas produtos possíveis.
a) C.A , B.A , A.D b) D.B , D.C , A.D c) A.C , D.A , C.D d) B.A , A.B , D.C e) A.D , D.C , C.A
Ver RespostaResposta correta: c) A.C , D.A , C.D
A.C é possível, pois o número de colunas de A (1), é igual ao número de linhas de C (1).
D.A é possível, pois o número de colunas de D (2), é igual ao número de linhas de A (2).
C.D é possível, pois o número de colunas de C (3), é igual ao número de linhas de D (3).
Efetue o produto matricial A . B.
Ver RespostaPrimeiro devemos verificar se é possível realizar a multiplicação.
Sendo A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x2, é possível multiplicar, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
Verificamos as dimensões da matriz resultado da multiplicação.
Chamando a matriz resultado do produto A . B de matriz C, esta terá duas linhas e duas colunas. Lembre-se que a matriz resultado do produto "herda" a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.
Sendo assim, a matriz C será do tipo 2x2. Construindo a matriz genérica C, temos:
C =
Para o cálculo de c11, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.
c11 = 3.1 + (-2).0 + 1.4 = 3 + 0 + 4 = 7
Para o cálculo de c12, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.
c12 = 3.3 + (-2).(-5) + 1.1 = 9 + 10 + 1 = 20
Para o cálculo de c21, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.
c21 = 1.1 + 5.0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Para o cálculo de c22, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.
c22 = 1.3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Escrevendo a matriz C com seus termos.
C =
Resolva a equação matricial e determine os valores de x e y.
Ver RespostaVerificamos que é possível multiplicar as matrizes antes da igualdade, pois são do tipo 2x2 e 2x1, ou seja, o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. O resultado é a matriz 2x1 ao lado direito da igualdade.
Multiplicamos a linha 1 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a 3.
-1.x + 2.y = 3 -x + 2y = 3 (equação I)
Multiplicamos a linha 2 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a -4.
4.x + (-3).y = -4 4x - 3y = -4 (equação II)
Temos duas equações e duas incógnitas e podemos resolver um sistema para determinar x e y.
Multiplicando ambos os lados da equação I por 4 e, somando I + II, temos:
Substituindo y na equação I e resolvendo para x, temos:
Assim, temos
Dado o seguinte sistema linear, associe uma equação matricial.
Ver RespostaHá três equações e três incógnitas.
Para associar ao sistema uma equação matricial, devemos escrever três matrizes: a dos coeficientes, a das incógnitas e a dos termos independentes.
Matriz dos coeficientes
Matriz das incógnitas
Matriz dos termos independentes
Equação matricial
Matriz dos coeficientes . matriz das incógnitas = matriz dos termos independentes
(UDESC 2019)
Dadas as matrizes e sabendo que A . B = C, então o valor de x + y é igual a:
a) 1/10 b) 33 c) 47 d) 1/20 e) 11
Ver RespostaResposta correta: c) 47
Para determinar os valores de x e y, resolvemos a equação matricial obtendo um sistema. Ao resolver o sistema, obtemos os valores de x e y.
Fazendo a multiplicação das matrizes:
Isolando x na equação I
Substituindo x na equação II
igualando os denominadores
Para determinar x, substituímos y na equação II
Assim,
x + y = 19 + 18 x + y = 47
(FGV 2016) Dada a matriz e sabendo que a matriz é a matriz inversa da matriz A, podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B , tem como soma de seus elementos o número
a) 14 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16
Ver RespostaResposta correta: b) 13
Uma matriz qualquer multiplicada pela sua inversa é igual a matriz identidade In. Assim, temos que:
Multiplicando os dois lados da equação AX = B por .
Fazendo o produto do lado direito da equação.
Como a matriz identidade é o elemento neutro do produto matricial
Dessa forma, a soma dos seus elementos é:
10 + 3 = 13
Dada a matriz seguinte matriz A, calcular a sua matriz inversa, caso exista.
Ver RespostaA é invertível, ou inversível, se existir uma matriz quadrada de mesma ordem que, ao multiplicar ou ser multiplicada por A, resulta na matriz identidade.
Pretendemos identificar a existência, ou não, de uma matriz para que:
Como A é uma matriz quadrada de ordem 2, também deve possuir ordem 2.
Vamos escrever a matriz inversa com seus valores como incógnitas.
Escrevendo a equação matricial e resolvendo o produto.
Igualando os termos equivalentes dos dois lados da igualdade.
3a + 7c = 1 5a + 12c = 0 3b + 7d = 0 5b + 12d = 1
Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas. Neste caso, podemos separar o sistema em dois. Cada um com duas equações e duas incógnitas.
Resolvendo o sistema Isolando a na primeira equação
Substituindo a na segunda equação.
Substituindo c
e o sistema:
Isolando b na primeira equação
Substituindo b na segunda equação
Substituindo d para determinar b.
Substituindo os valores determinados na matriz inversa de incógnitas
Verificando se a matriz calculada é, de fato, a matriz inversa de A.
Para isso, devemos efetuar as multiplicações.
Portanto, as frações são invertíveis.
(EsPCEx 2020) Sejam as matrizes . Se AB=C, então x+y+z é igual a
a) -2. b) -1. c) 0. d) 1. e) 2.
Ver RespostaResposta correta: e) 2.
Para determinar as incógnitas x, y e z, devemos realizar a equação matricial. Como resultado, teremos um sistema linear de três equações e três incógnitas. Ao resolver o sistema, determinamos x, y e z.
Pela igualdade de matrizes, temos:
Somando as equações I e III
Assim x = -4/2 = -2
Substituindo x = -2 na equação I e isolando z.
Substituindo os valores de x e z na equação II.
Substituindo os valores de x e y na equação I, temos:
Dessa forma, temos que:
Portanto, a soma das incógnitas é igual a 2.
(PM-ES) Sobre multiplicação de matrizes, Fabiana escreveu as seguintes sentenças em seu caderno:
Está correto o que Fabiana afirma:
a) apenas em I. b) apenas em II. c) apenas em III. d) apenas em I e III. e) apenas em I e IV
Ver RespostaResposta correta: e) apenas em I e IV
Só é possível multiplicar matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
Sendo assim, a sentença III já está descartada.
A matriz C, terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Dessa forma, as sentenças I e IV estão corretas.
Dada a matriz A, determine .
Ver RespostaPasso 1: determinar .
Passo 2: determinar a matriz transposta .
Obtemos a matriz transposta de A, trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.
Passo 3: resolver o produto matricial .
Portanto, o resultado do produto matricial é:
(UNICAMP 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz satisfaz a equação , em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
Ver RespostaResposta correta: a) -2.
Passo 1: determinar .
Passo 2: determinar a . A.
Passo 3: determinar b.I, sendo I a matriz identidade.
Passo 4: somar aA + bI.
Passo 5: igualar os termos correspondentes em .
Passo 6: resolver o sistema isolando a na equação I.
Substituindo na equação II.
Substituindo o valor de b
Passo 7: efetuar a multiplicação a.b.
Aprenda mais sobre Multiplicação de Matrizes.
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