Os arranjos são sequências ordenadas de elementos que pertencem a um conjunto finito. Cada sequência possível é um arranjo, seja com todos os elementos do conjunto ou parte destes.
Para definir o que é arranjo, consideremos um conjunto X de n elementos e um número p menor ou igual a n, ( ). Assim:
Arranjos são as sequências ordenadas com p elementos que pertencem a um conjunto X de n elementos. Portanto, cada ordem com que os elementos estão dispostos, representam arranjos diferentes.
Por exemplo, uma sequência ordenada com os elementos A, B e C, é um arranjo diferente de C, B e A. São considerados p com 1 elemento, 2 elementos, 3 elementos, … até o número n de elementos do próprio conjunto.
Na matemática, os arranjos pertencem a uma área de estudo chamada análise combinatória, que se propõe a solucionar problemas de contagem de agrupamentos, formados por elementos de conjuntos finitos.
Existem diversos problemas e situações que envolvem contagem, assim como diversas técnicas para os solucionar, das quais uma, é o arranjo.
Sua utilidade em geral é determinar a quantidade de ordenações possíveis de serem formadas. Os arranjos podem ser de vários tipos: simples, com repetição e condicional.
Os arranjos simples são aqueles sem elementos repetidos no seu conjunto. Para calcular o número de arranjos formados por p elementos de um conjunto finito de n elementos distintos, utilizamos a seguinte fórmula:
Onde,
An,p é o número de arranjos em um conjunto com n elementos tomados p a p; n é o número total de elementos no conjunto; p é o número de elementos ordenados.
Para entender a fórmula, é preciso conhecer este sinal que é um ponto de exclamação (!), chamado fatorial.
O fatorial de um número é uma operação matemática realizada por multiplicações sucessivas de valores inteiros decrescentes, que começam no próprio número, e terminam no 1.
Exemplos de fatorial
Com o domínio da fórmula, vejamos alguns exemplos de arranjos simples.
Exemplo 1 De quantas maneiras diferentes 4 pessoas podem organizar uma fila?
Utilizando a fórmula:
Perceba que o problema pode ser solucionado sem fórmula, como uma permutação, utilizando o princípio fundamental da contagem.
4 possibilidades para a primeira posição; 3 possibilidades para a segunda posição; 2 possibilidades para a terceira posição; 1 possibilidade para a quarta posição;
4 x 3 x 2 x 1 = 24 ordenações
Exemplo 2 Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Utilizando a fórmula:
Arranjo de 9 elementos tomados 3 a 3.
Este problema pode ser solucionado utilizando o princípio fundamental da contagem.
9 opções para o primeiro dígito; 8 opções para o segundo dígito; 7 opções para o terceiro dígito.
9 . 8 . 7 = 504
Até aqui, calculamos a quantidade de agrupamentos de elementos de um conjunto com elementos distintos. No entanto, há diversas situações com elementos iguais, ou seja, que se repetem.
Nos arranjos com repetição, determinamos a quantidade de agrupamentos possíveis considerando que elementos se repetem.
Para realizar o cálculo, utilizamos a seguinte fórmula:
Onde:
An,k é a quantidade de arranjos com repetição; n é o número total de elementos; k é o número de elementos que consideramos
Esta situação é muito comum, veja alguns exemplos:
Exemplo 1 Um cadeado de segredo onde é preciso determinar uma senha com 4 dígitos que podem ser algarismos de 0 a 9 permite quantos agrupamentos?
Utilizando a fórmula:
Perceba que este problema pode ser resolvido utilizando o princípio fundamental da contagem.
10 . 10 . 10 . 10 = 10 000
Exemplo 2 Para participar de uma rede social, um usuário deveria cadastrar uma senha com 4 letras e 5 algarismos, onde é possível que as letras e os números se repitam. Quantas senhas diferentes podem ser formadas?
Como há elementos de natureza diferente (letras e números), calculamos a quantidade de arranjos com repetição para cada e, após, multiplicamos os resultados.
Quantidade de arranjos com repetição formados por 4 letras escolhidas em um alfabeto com 26 letras.
Quantidade de arranjos com repetição formados por 5 algarismos escolhidos entre 10.
Multiplicando os valores, temos:
456 976 . 100 000 = 45 697 600 000
Além do arranjo, a análise combinatória também utiliza outros dois mecanismos para a contagem: a combinação e a permutação.
Os problemas que envolvem a contagem de agrupamentos possuem características diferentes que devem ser consideradas ao realizarmos os cálculos. É importante diferenciar estas características e escolher a técnica correta, ou mais eficiente, para aplicar.
O arranjo e a permutação estão bem próximos e, quase sempre, as duas técnicas podem ser utilizadas. Ambas possuem uma característica: a ordem dos elementos na sequência importa, ou seja, produzem agrupamentos diferentes.
Em geral, se tomamos todos os elementos do conjunto, dizemos realizar uma permutação. Em um conjunto com n elementos, uma permutação é calculada como:
Exemplo de permutação com n elementos.
De quantas maneiras diferentes 8 elementos podem ser dispostos?
Está é uma permutação com n = 8.
Veja que este cálculo também pode ser realizado pela fórmula do arranjo simples, visto que os elementos não se repetem.
A diferença entre o arranjo ou permutação em relação à combinação é a ordenação dos elementos. Na combinação, a ordenação dos elementos não é relevante, não produz resultados diferentes.
Uma combinação acontece quando selecionamos elementos de um conjunto formando um conjunto menor ou igual. Neste subconjunto, ordenações diferentes não produzem combinações diferentes. Por exemplo, em uma combinação, um subconjunto {A, B} é o mesmo que {B, A}.
A fórmula para calcular uma combinação é:
Repare que diferente do arranjo, a combinação possui um fator k! no denominador, assim, para um mesmo n e k, o resultado da combinação é menor, pois estaremos dividindo por um número maior.
Vamos resolver um problema como um arranjo e uma combinação.
1ª situação: arranjo
Determinar de quantas formas possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, em que a ordem é importante.
Resolução
2ª situação: combinação
Determinar de quantos modos possíveis podemos formar um subconjunto de 3 elementos tomados de um conjunto de 5, não importando a ordem.
Resolução Não importar a ordem significa que elementos iguais, mesmo em ordenações diferentes, formam o mesmo resultado e devem ser contadas apenas uma vez.
Em geral, é a situação-problema que define quando utilizar arranjo ou combinação, por isso, nos exercícios é preciso focar na interpretação e compreender se a ordenação dos elementos produz resultados diferentes.
Ao contar de quantas maneiras podemos formar um pódio com 1º, 2º e 3 lugares, a ordenação é importante e utilizamos arranjo.
Caso estejamos contando de quantos modos podemos montar uma salada de fruta com quatro tipos diferentes entre dez opções de frutas, a ordem no qual as frutas estão no pote de salada não é relevante e utilizamos combinação.
Aprenda mais sobre:
Aproveite para praticar exercícios de análise combinatória.
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