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Comprimento da Circunferência

window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

O comprimento de uma circunferência é a medida da união de todos os pontos que a formam, sendo expressa em alguma unidade de comprimento como: metro, centímetro ou milímetros, por exemplo.

Um modo prático para obter este comprimento é utilizar uma fita métrica flexível ou, desfazendo a circunferência, a esticando em linha e, assim, medir seu comprimento.

Como nem sempre é possível desfazer a circunferência ou utilizar uma fita métrica, obtemos esta medida através de um cálculo, utilizando uma medida mais fácil de obter: o raio.

Cálculo do comprimento da circunferência

Para calcular o comprimento de uma circunferência, multiplicamos três valores: o número natural 2, o número (pi) e a medida do raio da circunferência.

Fórmula do comprimento da circunferência

Onde:

• (pi) é um número irracional, por isso, possui infinita casas decimais. Quanto maior o número de casas decimais utilizadas no cálculo, mais preciso será o valor. Aproximações aceitáveis para diversas aplicações são 3,14 ou, para maior precisão, 3,1415. Até a vigésima casa decimal, seu valor é 3,14159265358979323846.

• r é a medida do raio da circunferência. O raio é um segmento que liga o centro a um ponto qualquer na circunferência.

A unidade de medida é a mesma utilizada na medição do raio.

Outra forma de escrever esta fórmula é substituir o 2 e o r por d, onde d é o diâmetro da circunferência. Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, d = 2.r, a fórmula também pode ser escrita da seguinte forma:

Exemplo 1 Determine o comprimento de uma circunferência que possui um diâmetro de 1,70 m. Considere .

Substituindo na fórmula com o diâmetro, temos:

Portanto, o comprimento da circunferência é de 5,338 m.

Exemplo 2 Uma circunferência de raio igual a 1,5 cm, possui quantos centímetros de comprimento?

Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência em função do raio, temos:

Portanto, o comprimento desta circunferência é de 9,42 cm.

Dedução da fórmula do comprimento da circunferência

A fórmula para o cálculo do comprimento da circunferência vem de um fato curioso: ao dividir o comprimento de qualquer circunferência pela medida de seu diâmetro, sempre se obtêm o número (pi), não importa seu tamanho.

Chamando o comprimento da circunferência de C e seu diâmetro de d, temos:

Isolando o comprimento da circunferência, obtemos:

Ou, como o diâmetro é igual a duas vezes a medida do raio, podemos substituir d por 2r, e obter a fórmula:

Leia mais sobre circunferência.

Exercícios

Exercício 1

(Enem 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O.

Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas.

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para π.

a) 55,5 b) 60,0 c) 175,5 d) 235,5 e) 240,0

Ver Resposta

Resposta correta: b) 60,0.

Resolução

Dados: Raios de 3 e 4 metros para C2 e C1, respectivamente.= 3 Sessão de 10 voltas.

Objetivo: determinar quanto C1 percorre a mais que C2 em dez voltas.

Diferença = C1 - C2

Passo 1: determinar o comprimento de cada circunferência.

Aplicando os dados na fórmula do comprimento da circunferência temos:

Passo 2: comprimento total percorrido em 10 voltas.

C2 = 18 . 10 = 180m

C1 = 24 . 10 = 240m

Conclusão Fazendo a diferença entre entre C1 e C2,

C1 - C2 = 240 - 180 = 60m

Portanto, a criança no cavalo 1, percorrerá 60m a mais que a criança no cavalo 2.

Exercício 2

(Marinha 2016) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que AB= 4 cm e AC= 2√5 cm, determine a medida do comprimento da circunferência.

Use

a) 18,84 cm b) 12,05 cm c) 10,16 cm d) 9 cm e) 3 cm

Ver Resposta

Resposta correta: a) 18,84 cm

Resolução

Objetivo: determinar o comprimento da circunferência.

Estratégia: determinar a medida do diâmetro BC e usa-la para determinar o comprimento da circunferência.

Para o cálculo do comprimento da circunferência, precisamos determinar o diâmetro ou raio. Na figura, o segmento BC é o diâmetro da circunferência e, ao mesmo tempo, a hipotenusa de do triângulo retângulo ABC.

Cálculo de BC Usando o Teorema de Pitágoras temos,

Substituindo os valores fornecidos no enunciado,

Desta forma, o diâmetro BC é igual a 6 cm.

Cálculo do comprimento da circunferência

Utilizando a fórmula do comprimento da circunferência temos,

Onde d é o diâmetro BC. Substituindo os valores:

Conclusão Desta forma, o comprimento da circunferência é de 18,84 cm.

Veja também:

• Perímetro do Círculo
• Número pi
• Área do Círculo

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Veja também

• Exercícios de trigonometria no triângulo retângulo
• 27 exercícios de Matemática Básica
• Lei dos Senos
• 13 exercícios sobre cilindros
• 23 exercícios de Matemática 7º ano
• Exercícios de Inequação
• Questões de Matemática no Enem
• Exercícios sobre razões trigonométricas