Domínio, contradomínio e imagem

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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

    O domínio, o contradomínio e a imagem são conjuntos numéricos relacionados por funções matemáticas. Estas transformam valores através de suas leis de formação e os transportam de um conjunto de saída, o domínio, para um conjunto de chegada, o contradomínio.

    Do conjunto domínio saem os valores que serão transformados pela fórmula da função, ou lei de formação. Após, estes valores chegam no contradomínio.

    Ao subconjunto formado pelos elementos que chegam no contradomínio dá-se o nome de conjunto imagem.

    Desta forma, domínio, contradomínio e imagem são conjuntos não vazios e podem ser finitos ou infinitos.

    No estudo das funções é preciso especificar quais elementos ou, qual a abrangência destes conjuntos. Por exemplo: conjunto dos números naturais ou conjunto dos números reais.

    Dado um domínio A em que cada elemento x que o pertença, é transformado pela função em um elemento y que pertença ao contradomínio B, cada elemento y é chamado imagem de x.

    Para designar o domínio e o contradomínio de uma função, utiliza-se a notação:

    (lemos f de A em B)

    Estas leis de transformação são expressões que envolvem operações e valores numéricos.

    Exemplo Uma função f:A→B definida pela lei de formação f(x) = 2x, em que seu domínio é o conjunto A={1, 2, 3} e o contradomínio B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, pode ser representada pelos valores da tabela e pelos diagramas:

    Domínio

    x

    f(x) = 2x

    Imagem

    y

    1 f(1) = 2 . 1 2
    2 f(2) = 2 . 2 4
    3 f(3) = 2 . 3 6

    Organizando os resultados da tabela nos diagramas:

    Domínio

    Domínio D de uma função f é o conjunto de saída, composto pelos elementos x aplicados na função.

    Geometricamente, em um plano cartesiano, os elementos do domínio formam o eixo x, das abcissas.

    Na notação o domínio é representado pela letra antes da seta.

    Todo elemento x do domínio tem pelo menos uma imagem y no contradomínio.

    Contradomínio

    Contradomínio CD é o conjunto de chegada. Na notação é representado do lado direito da seta.

    Imagem

    Imagem Im é um subconjunto do contradomínio, formado pelos elementos y que saem da função e chegam ao contradomínio, podendo possuir o mesmo número de elementos, ou um número menor.

    Desta forma o conjunto imagem de uma função f, está contido no contradomínio.

    Geometricamente, em um plano cartesiano os elementos do conjunto imagem formam o eixo y, das ordenadas.

    É comum dizer que y é o valor assumido pela função f(x) e, desta forma, escrevemos:

    É possível que um mesmo elemento y seja imagem de mais de um elemento x do domínio.

    Exemplo Na função definida pela lei , para valores x simétricos do domínio, temos uma única imagem y.

    Aprenda mais sobre funções.

    Exercícios sobre domínio, contradomínio e imagem

    Exercício 1

    Dados os conjuntos A = {8, 12, 13, 20, 23} e B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, determine: domínio, o contradomínio e imagem das funções.

    a) f: A → B definida por f(x) = 2x + 1

    b) f: A → B definida por f(x) = 3x - 14

    Ver Resposta

    a) f: A → B definida por f(x) = 2x + 1

    Domínio A = {8, 12, 13, 20, 23} Contradomínio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55} Imagem Im(f) ={17,25,27,41,47}

    D(f) f(x)=2x+1 Im(f)
    8 f(8)=2.8+1 17
    12 f(12)=2.12+1 25
    13 f(13)=2.13+1 27
    20 f(20)=2.20+1 41
    23 f(23)=2.23+1 47

    b) f: A → B definida por f(x) = 3x - 14

    Domínio A = {8, 12, 13, 20, 23} Contradomínio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55} Imagem Im(f) ={}

    D(f) f(x) = 3x - 14 Im(f)

    8

    f(8)=3.8 - 14 10
    12 f(12)=3.12 - 14 24
    13 f(13)=3.13 - 14 25
    20 f(20)=3.20 - 14 46
    23 f(23)=3.23 - 14 55

    Exercício 2

    Determine o domínio das funções definidas por:

    Ver Resposta

    O domínio é o conjunto dos possíveis valores que x pode assumir.

    a) Sabemos que não é possível existir divisão por zero 0, desta forma o denominador deve ser diferente de zero.

    Lemos: x pertence aos reais tal que x diferente de 2.

    b) Não existe raiz quadrada de número negativo. Desta forma, o radicando deve ser maior ou igual a zero.

    Lemos: x pertence aos reais tal que x maior ou igual a 5.

    Exercício 3

    Dada a função com domínio no conjunto dos inteiros qual é o conjunto imagem de f(x) ?

    Ver Resposta

    O conjunto Z dos números inteiros admite os números negativos e positivos onde dois números consecutivos distam 1 unidade.

    Desta forma, a função admite valores positivos e negativos. No entanto, como x está elevado ao quadrado, todo valor, mesmo negativo, retornará um valor positivo.

    Exemplo f(-2) = (-2)² = -2 . (-2) = 4

    Desta forma, haverão apenas números naturais na imagem.

    Pode se interessar por:

    • Função Injetora
    • Função Sobrejetora
    • Função Bijetora
    • Função Inversa
    • Função Composta

    Aplicações e curiosidades

    As funções possuem aplicação no estudo de qualquer fenômeno em que um parâmetro dependa de outro. Como, por exemplo, a velocidade de um móvel com o passar do tempo, os efeitos de um fármaco com as características de acidez no estômago, a temperatura de uma caldeira com a quantidade de combustível.

    As funções estão presentes nos fenômenos reais e, por isto, possuem aplicação em todo estudo científico e de engenharia.

    O estudo das funções não é recente, alguns registros na Antiguidade em tábuas babilônicas mostram que já faziam parte da matemática. Com o passar dos anos a notação, maneira como se escrevem, foi recebendo contribuições de diversos matemáticos e se aprimorando, até como as utilizamos hoje.

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