Escalonamento é um método para resolver sistemas de equações lineares, quando existe solução. Também é usado para classificar estes sistemas que podem possuir quaisquer ordens.
Escalonar um sistema linear é modificar suas equações e termos de modo a obter um novo sistema, escalonado, em que ambos são equivalentes, pois possuem as mesmas soluções.
Um sistema linear de equações está na forma escalonada quando:
Exemplo Um sistema 2x2 escalonado, com duas equações e duas incógnitas, x e y. Na segunda equação o 1.º termo é nulo (x=0).
Exemplo Um sistema 3x3 escalonado, com três equações e três incógnitas: x, y e z. A primeira equação possui todos os termos não-nulos (diferentes de zero). A segunda equação tem o 1.º termo nulo (x=0) e, a terceira equação possui x e y iguais a zero.
Repare que os sistemas escalonados estão na forma de escada, diminuindo a quantidade de termos a cada linha.
Para escalonar um sistema linear podemos utilizar as seguintes operações:
Podemos passar a equação da linha 2 para a linha 1.
Assim o sistema está escalonado, equivalente ao primeiro.
Podemos multiplicar todos os termos de uma equação qualquer do sistema.
Multiplicando todos os termos por 3
Podemos multiplicar todos os elementos da equação da primeira linha por 2
Somamos a equação obtida termo a termo com a equação da segunda linha e substituímos na segunda linha o resultado.
Obtemos o sistema escalonado.
Devemos realizar tantas transformações quanto forem necessárias, até obtermos um sistema na forma escalonada, equivalente ao primeiro.
Para classificar um sistema linear escalonado deve-se observar a última linha para determinar se ele é:
SPD - Sistema possível e determinado. Tem apenas uma solução. SPI - Sistema possível e indeterminado. Tem infinitas soluções. SI - Sistema impossível. Não possui solução.
Se a última linha do sistema for:
Resolver um sistema de equações é determinar seu conjunto solução, os valores numéricos que ao substituí-los pelas incógnitas, tornam verdadeiras as igualdades.
Para resolver sistemas lineares escalonados consideramos dois casos e realizamos as seguintes estratégias:
Começamos a resolução a partir da última equação, de baixo para cima.
Substituindo z na segunda equação:
O procedimento continua até a primeira equação, determinando todas as incógnitas.
Substituindo y e z na primeira equação:
Exemplo: 2 equações e 3 incógnitas
1. Identificamos a variável livre Variável livre é aquela que não inicia equações, no exemplo, é a variável z.
2. Transpomos a variável livre para o outro lado da igualdade, no segundo membro da equação.
3. Atribuímos para z um valor numérico real k , z=k.
4. Substituímos y na primeira equação pelo segundo membro da segunda equação e resolvemos para x.
5. O conjunto solução é
Como k pode assumir qualquer valor real, o sistema é possível e indeterminado.
Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
Ver RespostaMultiplicamos a primeira equação por -2.
Somamos termo a termo com a segunda equação, que será substituída pelo resultado.
A primeira equação continua original. O sistema neste ponto está assim:
Multiplicamos a primeira equação por -3.
Somamos termo a termo com a terceira, que será substituída pelo resultado.
O sistema fica assim:
Multiplicando a segunda equação por -1:
Somando a terceira, obtemos:
Como a última linha é uma igualdade verdadeira do tipo 0=0, o sistema é possível e indeterminado, SPI.
Classifique o sistema em possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
a) b) c)
Ver Respostaa) Sistema possível indeterminado, SPI. A última linha é uma igualdade verdadeira sem incógnitas.
b) Sistema possível determinado, SPD. A última linha é uma equação do 1º grau.
c) Sistema impossível, SI. A última linha é uma igualdade falsa.
Determine o conjunto solução do seguinte sistema:
Ver RespostaComeçando com a terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo y e z na primeira equação:
O conjunto solução é S={(1,2,1)}.
Aprenda mais sobre sistemas lineares e sistemas de equações. Exercite com Sistemas de Equações do 1º Grau - Exercícios.
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