Exercícios de equação biquadrada

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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

    Pratique exercícios de equações biquadradas com gabarito e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.

    Exercício 1

    Determine a soma das raízes reais de .

    Ver Resposta

    Resposta: A soma das raízes reais é zero.

    Fatoramos o como e reescrevemos a equação como:

    Fazemos e substituímos na equação.

    Recaímos em uma equação do segundo grau com parâmetros:

    a = 1 b = -2 c = -3

    O discriminante da equação é:

    As raízes são:

    y1 e y2 são as raízes da equação do segundo grau, mas estamos determinando as raízes da equação biquadrada, do 4º grau.

    Utilizamos a relação para determinar as raízes da equação biquadrada para cada valor de y encontrado.

    Para y1 = 3

    são raízes reais.

    Para y2 = -1

    Como não há no conjunto dos números reais uma solução para raiz quadrada de um número negativo, as raízes são complexas.

    Assim, a soma das raízes reais é:

    Exercício 2

    Determine o conjunto solução da equação:

    Ver Resposta

    Resposta correta:

    Primeiro devemos manipular a equação a fim de posicionar no mesmo membro da igualdade.

    Fazendo a distributiva e passando o 81 para o lado esquerdo:

    Temos um equação biquadrada, ou seja, duas vezes quadrada. Para resolver, utilizamos uma variável auxiliar, fazendo:

    Fatoramos o na equação I e o reescrevemos como . Assim, a equação I fica:

    Utilizamos o artifício da equação II, substituindo na equação I, por .

    Uma vez que temos uma equação do segunda grau, vamos resolvê-la utilizando Bhaskara.

    Os parâmetros são:

    a = 1 b = -18 c = 81

    O delta é:

    As duas raízes serão iguais a:

    Uma vez determinadas as raízes y1 e y2, as substituímos na equação II:

    Desta forma, o conjunto solução da equação é:

    Exercício 3

    A seguinte equação apresenta quatro raízes irracionais. Determine o conjunto solução da equação:

    Ver Resposta

    Resposta:

    Passando o 15 para o lado esquerdo:

    Fatorando como :

    Fazendo e substituindo na equação:

    Na equação polinomial do segundo grau de variável y, os parâmetros são:

    a = 1 b = -8 c = 15

    Utilizando Bhaskara para determinar as raízes:

    A equação que estamos resolvendo é a biquadrada, de variável y, por isto temos que voltar com os valores para y.

    Substituindo na relação :

    Para a raiz x1=5

    Para a raiz x2 = 3

    Desta forma, o conjunto solução é: .

    Exercício 4

    Determine o produto das raízes reais de .

    Ver Resposta

    Resposta: o produto das raízes reais da equação é -4.

    Fatorando para e reescrevendo a equação biquadrática:

    Fazendo e substituindo na equação, temos uma equação do segundo grau de parâmetros:

    a = 1 b = 2 c = -24

    O delta é:

    As raízes são:

    A equação biquadrática está na variável x, portanto devemos voltar através da relação .

    Para y1 = 4

    Para y2 = -6

    Como não há solução real para a raiz quadrada de um número negativo, as raízes serão complexas.

    O produto das raízes reais será:

    Exercício 5

    Determine as raízes da equação: .

    Ver Resposta

    Resposta: As raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

    Fazendo a distributiva e trazendo o -81 para o lado esquerdo:

    Para simplificar, podemos dividir ambos os lados por 9:

    Como obtemos uma equação biquadrada, vamos reduzí-la a uma equação do segundo grau, fazendo .

    A equação fica:

    Os parâmetros são:

    a = 1 b = -10 c = 9

    O delta será:

    As raízes são:

    Voltando para x, fazemos:

    Para a raiz y1 = 9

    Para a raiz y2 = 1

    Logo, as raízes da equação são: -3, -1, 1 e 3.

    Exercício 6

    (SEDUC-RJ 2015) Seja S o conjunto solução da inequação para x pertencente ao conjunto dos números reais. A quantidade total de números inteiros que pertencem ao conjunto S é igual a

    a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

    Ver Resposta

    Resposta correta: d) 6

    Fatorando o para e reescrevendo a inequação:

    Fazendo e substituindo na inequação anterior:

    Resolvendo a inequação de parâmetros:

    a = 1 b = -20 c = 64

    Calculando o delta:

    As raízes serão:

    Substituindo as raízes y1 e y2 na relação entre x e y:

    Para a raiz y1 = 16

    Para a raiz y2 = 4

    Analisando os intervalos que satisfazem a condição :

    [ -4 ; -2 ] e [2 ; 4]

    Logo, considerando apenas os inteiros que compõem os intervalos:

    -4, -3, -2 e 2, 3, 4

    Seis números inteiros satisfazem a inequação.

    Exercício 7

    (ETAM 2015) A solução da equação é:

    a)

    b)

    c)

    d)

    Ver Resposta

    Resposta correta: a) .

    Fatorando para e reescrevendo a equação:

    Fazendo e substituindo na equação acima:

    Recaímos em uma equação do segundo grau de parâmetros:

    a = 2 b = -8 c = 6

    Calculando o delta:

    A raízes são:

    Substituindo as raízes da equação do segundo grau x1 e x2 na equação que relaciona x e y:

    Para x = 3, temos:

    Para x = 1, temos:

    Logo, o conjunto solução é:

    Exercício 8

    .(Unirio-RJ) O produto das raízes positivas de vale:

    Ver Resposta

    Resposta correta: .

    Fatorando igual a e reescrevendo a equação:

    Fazendo e reescrevendo a equação:

    Na equação do segundo grau os parâmetros são;

    a= 1 b= -11 c = 18

    O delta é:

    Agora devemos substituir os valores das raízes da equação do segundo grau y1 e y2 na relação .

    Para y1 = 9

    Para y2 = 2

    Desta forma, o produto das raízes positivas será:

    Pratique mais exercícios de:

    • Equação do 2º Grau - Exercícios
    • Exercícios sobre Fórmula de Bhaskara
    • Exercícios sobre números complexos
    • Equação do 1º Grau - Exercícios
    • Exercícios de Inequação

    Veja também:

    • Equação do Segundo Grau
    • Inequação
    • Equação do Primeiro Grau
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