Estude com as 11 questões de inequações do 1º e 2° grau. Tire suas dúvidas com os exercícios resolvidos e se prepare com questões de vestibulares.
Uma loja de utensílios domésticos oferece um conjunto de talheres por um preço que depende da quantidade comprada. Estas são as opções:
Opção A: R$ 94,80 mais R$ 2,90 a unidade avulsa. Opção B: R$ 113,40 mais R$ 2,75 a unidade avulsa.
A partir de quantos talheres avulsos comprados a opção A é menos vantajosa que a opção B.
a) 112 b) 84 c) 124 d) 135 e) 142
Ver RespostaResposta correta: c) 124.
Ideia 1: escrever as funções do preço final em relação a quantidade de talheres comprados.
Opção A: PA(n) = 94,8 + 2,90n
Onde, PA é o preço final da opção A e n é o números de talheres avulsos.
Opção B: PB(n) = 113,40 + 2,75n
Onde, PB é o preço final da opção B e n é o números de talheres avulsos.
Ideia 2: escrever a inequação comparando as duas opções.
Como a condição é que A seja menos vantajosa, vamos escrever a inequação utilizando o sinal "maior que", que representará o número de talheres a partir do qual essa opção passa a ser mais cara.
Isolando n do lado esquerdo da inequação e os valores numéricos do lado direito.
Desse modo, a partir de 124 talheres, a opção A passa a ser menos vantajosa.
Carlos está negociando um terreno com uma imobiliária. O terreno A, fica em uma esquina e possuí a forma de um triângulo. A imobiliária também está negociando uma faixa de terra na forma de um retângulo determinado pela seguinte condição: o cliente pode escolher a largura, mas o comprimento deverá possuir cinco vezes esta medida.
A medida da largura do terreno B para que este tenha uma área maior que a do terreno A é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Ver RespostaResposta correta: d) 4
Ideia 1: área do terreno triangular.
A área do triângulo é igual a medida da base multiplicada pela altura, dividido por dois.
Ideia 2: área do terreno retangular em função da medida da largura.
Ideia 3: inequação comparando as medidas dos terrenos A e B.
Área do terreno B > Área do terreno A
Conclusão O terreno A, retangular, passa a ter uma área maior que a do terreno B, triangular, para larguras maiores que 4 metros.
Uma concessionária de automóveis decidiu mudar a política de pagamentos de seus vendedores. Estes recebiam um salário fixo por mês, e agora a empresa propõe duas formas de pagamentos. A opção 1 oferece um pagamento fixo de R$ 1 000,00 mais uma comissão de R$ 185,00 por carro vendido. A opção 2 oferece um salário de R$ 2 045,00 mais uma comissão de R$ 90,00 por carro vendido. A partir de quantos carros vendidos a opção 1 passa a ser mais lucrativa que a opção 2?
a) 25 b) 7 c) 9 d) 13 e) 11
Ver RespostaResposta correta: e) 11
Ideia 1: escrever as fórmulas dos salários em função das quantidades de carros vendidos para as opções 1 e 2.
Salário opção 1: 1 000 + 185n Salário opção 2: 2 045 + 90n
Sendo n o número de carros vendidos.
Ideia 2: escrever a inequação comparando as opções, utilizando o sinal de desigualdade "maior que".
Conclusão A opção 1 passa a ser mais lucrativa para o vendedor a partir de 11 carros vendidos.
A inequação representa em horas o intervalo de tempo da ação de um determinado fármaco em função do tempo, a partir do momento em que um paciente o ingere. O medicamento se mantém eficiente para valores positivos da função. Qual o intervalo de tempo em que o remédio reage no corpo do paciente?
Ver RespostaPara determinar o intervalo de tempo, esboçamos o gráfico da função .
Essa é uma função do segundo grau e sua curva é uma parábola.
Identificando os coeficientes a = -1 b = 3 c = 0
Como a é negativo a concavidade é voltada para baixo.
Determinando as raízes da equação:
As raízes são os pontos em que a função é zero e, por isso, são os pontos em que a curva corta o eixo x.
A função assume valores positivos entre 0 e 3. Portanto, o medicamento mantém seu efeito durante três horas.
Em uma loja de roupas uma promoção diz que se um cliente comprar uma peça, ele pode levar uma segunda, igual a primeira, por um terço do valor. Se um cliente tem R$ 125,00 e quer aproveitar a promoção, o preço máximo da primeira peça que ele pode comprar, para poder levar também a segunda, é
a) R$ 103,00 b) R$ 93,75 c) R$ 81,25 d) R$ 95,35 e) R$ 112,00
Ver RespostaResposta correta: b) R$ 93,75
Chamando o preço da primeira peça de x, a segunda sai por x / 3. Como as duas juntas devem custar no máximo R$ 125,00, escrevemos uma inequação usando o sinal "menor ou igual que".
Portanto, o preço máximo que ela pode pagar na primeira peça é R$ 93,75.
De fato, se x assumir seu valor máximo, de 93,75, a segunda peça sairá por um terço deste valor, ou seja:
93,75 / 3 = 31,25
Dessa forma, a segunda peça custaria R$31,25.
Para conferir os cálculos, vamos somar os preços da primeira e segunda peça.
93,75 + 31,25 = 125,00
(ENEM 2020 Digital). Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II.
A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é
a) 449 b) 753 c) 866 d) 941 e) 1 091
Ver RespostaResposta correta: b) 753
Ideia 1: a chapa 1 perde uma certa quantidade x de votos e a chapa 2 ganha essa mesma quantidade x de votos.
Ideia 2: montar a inequação
Como os votos dos sócios patrimoniais continuarão iguais, para a chapa 2 vencer a eleição, deve conquistar x votos dos sócios contribuintes. Ao mesmo tempo, a chapa 1 deverá perder esses mesmos x votos.
votos chapa 2 > votos chapa 1
1300 . 0,6 + (2120 + x) . 0,4 > 850 . 0,6 + (4300 - x) . 0,4
780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x
1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x
0,4x + 0,4x > 2230 - 1628
0,8x > 602
x > 602 / 0,8
x > 752,5
Portanto, 753 é a menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora.
(UERJ 2020). Um número N, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação é:
a) 2 b) 7 c) 16 d) 17
Ver RespostaResposta correta: d) 17
Ideia 1: determinar as raízes
Vamos encontrar as raízes desta equação do 2° grau utilizando a fórmula de Bhaskara.
Identificando os coeficientes
a = 1 b = -17 c = 16
Determinando o discriminante, delta.
Determinando as raízes
Ideia 2: esboçar o gráfico
Como o coeficiente a é positivo a curva da função tem concavidade aberta para cima e corta o eixo x nos pontos N1 e N2.
Fica fácil perceber que a função assume valores maiores que zero para N menor que 1 e maior que 16.
O conjunto solução é: S ={N < 1 e N > 16}.
Como o sinal da inequação é maior que ( > ), os valores de N = 1 e N = 16 são iguais a zero, e não podemos considerá-los.
Conclusão O número inteiro, dentre as opções, que satisfaz a inequação é o 17.
(UNESP). Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais R$20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$55,00, mais R$35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:
a) 6 horas b) 5 horas c) 4 horas d) 3 horas e) 2 horas
Ver RespostaResposta correta: d) 3 horas
Função do preço do serviço de Carlos
100 + 20h
Função do preço do serviço de Daniel
55 + 35h
Se quiséssemos saber em quantos horas o preço do serviço deles se iguala, seria necessário igualar as equações.
Preço Daniel = Preço Carlos
Como queremos que o preço do serviço de Daniel não fique mais caro que o de Carlos, trocamos o sinal de igual pelo sinal de menor ou igual que .
(inequação do 1º grau)
Isolando o termo com h de um lado da desigualdade:
Para valores de h = 3, o valor do preço do serviço se iguala para os dois.
Preço de Daniel para 3 horas de festa 55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160
Preço de Carlos para 3 horas de festa 100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160
O enunciado diz: "para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos". Por isso utilizamos o sinal de menor ou igual que.
O tempo máximo de duração de uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é de 3 horas. A partir de 3h sua contratação passa a ser mais cara.
(ENEM 2011). Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).
Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
Ver RespostaResposta correta: d) 4
Ideia 1: não ter prejuízo é o mesmo que ter faturamento maior ou, pelo menos, igual a zero.
Ideia 2: escrever a inequação e calcular.
De acordo com o enunciado LT(q) = FT(q) - CT(q). Substituindo as funções e fazendo maior ou igual a zero.
Portanto, a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo é 4.
(ENEM 2015). A insulina é utilizada no tratamento de pacientes com diabetes para o controle glicêmico. Para facilitar sua aplicação, foi desenvolvida uma "caneta" na qual pode ser inserido um refil contendo 3mL de insulina. Para controle das aplicações, definiu-se a unidade de insulina como 0,01 mL. Antes de cada aplicação, é necessário descartar 2 unidades de insulina, de forma a retirar possíveis bolhas de ar. A um paciente foram prescritas duas aplicações diárias: 10 unidades de insulina pela manhã e 10 à noite. Qual o número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita?
a) 25 b) 15 c) 13 d) 12 e) 8
Ver RespostaResposta correta: a) 25
Dados
Capacidade da caneta = 3mL 1 unidade de insulina = 0,01 mL Quantidade descartada em cada aplicação = 2 unidades Quantidade por aplicação = 10 unidades Quantidade total utilizada por aplicação = 10u + 2u = 12u
Objetivo: determinar o número máximo de aplicações possíveis com a dosagem prescrita.
Ideia 1: escrever a inequação "maior que" zero.
Total em mL menos, a quantidade total por aplicação em unidades, multiplicado por 0,01mL, multiplicado pela quantidade de aplicações p.
3mL - (12u x 0,01mL)p > 0
3 - (12 x 0,01)p > 0 3 - 0,12p > 0 3 > 0,12p 3 / 0,12 > p 25 > p
Conclusão O número máximo de aplicações por refil que paciente poderá utilizar com a dosagem prescrita é 25.
(Uece 2010). A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade . O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto
a) {12, 13, 14}. b) {15, 16, 17}. c) {18, 19, 20}. d) {21, 22, 23}.
Ver RespostaResposta correta: b) {15, 16, 17}.
Ideia 1: esboçar a curva do gráfico da função f(x) = .
Para isto, vamos determinar as raízes da função utilizando a fórmula de Bhaskara.
Os coeficientes são: a = 1 b = -32 c = 252
Calculando o discriminante
Cálculo das raízes
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola, como a é positivo a concavidade fica voltada para cima e a curva corta o eixo x nos pontos 14 e 18.
Ideia 2: identificar os valores no gráfico.
Como a inequação da questão é uma desigualdade com sinal "menor que", com o valor zero do lado direito, nos interessa os valores do eixo x para que a função seja negativa.
Conclusão Portanto, o número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto {15, 16, 17}.
Aprenda mais sobre inequações.
Veja tambémEquação do segundo grauEquação do primeiro grau
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