Estude com os exercícios de seno, cosseno e tangente resolvidos. Pratique e tire suas dúvidas com os exercícios comentados.
Determine os valores de x e y no triângulo a seguir. Considere sen 37º = 0,60, cosseno de 37º = 0,79 e tan 37º = 0,75.
Ver RespostaResposta: y = 10,2 m e x = 13,43 m
Para determinar y, usamos o seno de 37º, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Vale lembrar que a hipotenusa é o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo, vale 17 m.
Para determinar x, podemos utilizar o cosseno de 37º, que é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo de 37º e a hipotenusa.
No triângulo retângulo a seguir, determine o valor do ângulo , em graus, e seu seno, cosseno e tangente.
Considere:
sen 28º = 0,47 cos 28º = 0,88
Ver RespostaResposta: ,
Em um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Sendo um triângulo retângulo há um ângulo de 90º, assim, restam outros 90º para os dois ângulos.
Desta forma temos:
Como estes ângulos são complementares (a partir de um deles, o outro é o quanto falta para completar 90º), vale que:
cos 62º = sen 28º = 0,47
e
sen 62º = cos 28º = 0,88
Cálculo da tangente
A tangente é a razão entre o seno e o cosseno.
Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz 45º em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.
Ver RespostaResposta: A altura da casa é de 23 m.
Para determinar uma altura, conhecendo o ângulo de inclinação, utilizamos a tangente do ângulo de 45°.
A tangente de 45° é igual a 1.
A casa e a sombra no chão, são os catetos de um triângulo retângulo.
Assim, a altura da casa é de 23 m.
Um agrimensor é um profissional que utiliza conhecimentos matemáticos e geométricos para fazer medições e estudar uma superfície. Utilizando um teodolito, ferramenta que, entre outras funções mede ângulos, posicionado a 37 metros de distância de um edifício, ele encontrou um ângulo de 60° entre um plano paralelo ao solo e altura do edifício. Se o teodolito estava sobre um tripé, a 180 cm do chão, determine a altura do edifício em metros.
Considere
Ver RespostaResposta: A altura do prédio é de 65,81 m.
Fazendo um rascunho da situação temos:
Assim, a altura do prédio pode ser determinada utilizando a tangente de 60º, a partir da altura onde o teodolito está, somando o resultado com 180 cm ou, 1,8 m, pois é a altura que ele está do chão.
A tangente de 60° é igual a .
Altura a partir do teodolito
Altura total
64,01 + 1,8 = 65,81 m
A altura do prédio é de 65,81 m.
Determine o perímetro do pentágono.
Considere: sen 67° = 0,92 cos 67° = 0,39 tan 67° = 2,35
Ver RespostaResposta: o perímetro é de 219,1 m.
O perímetro é a soma dos lados do pentágono. Como há uma parte retangular com a medida de 80 m, o lado oposto também tem 80 m.
O perímetro é dado por:
P = 10 + 80 + 80 + a + b P = 170 + a + b
Sendo a, paralelo à linha azul tracejada, podemos determinar seu comprimento utilizando a tangente de 67°.
Para determinar o valor de b, utilizamos o cosseno de 67°
Desta forma, o perímetro é:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
Determine o seno e o cosseno de 1 110°.
Ver RespostaConsiderando a circunferência trigonométrica temos que uma volta completa possui 360°.
Ao dividirmos 1110° por 360° temos como resultado 3,0833 ... . Isto significam 3 voltas completas e um pouco mais.
Fazendo 360° x 3 = 1080° e subtraindo de 1110 temos:
1110° - 1080° = 30°
Considerando o sentido anti-horário como positivo, após três voltas completas voltamos ao início, 1080° ou 0°. A partir deste ponto avançamos mais 30°.
Assim, o seno e o cosseno de 1110° são iguais ao seno e ao cosseno de 30°
(CEDERJ 2021) Estudando para uma prova de trigonometria, Júlia aprendeu que sen² 72° é igual a
1 – cos² 72°.
cos² 72° – 1.
tg² 72° – 1.
1 – tg² 72º.
Validar resposta Gabarito explicadoA relação fundamental da trigonometria diz que:
Onde x é o valor do ângulo.
Fazendo x = 72º e isolando o seno, temos:
As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é assegurada em lei.
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), regula a construção e define a inclinação das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. As diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite máximo de inclinação de 8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que uma rampa, para vencer um desnível de 1 m, deve ter, no mínimo, 12 m de comprimento e isso define que o ângulo de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode ser maior que 7°.
De acordo com as informações anteriores, para que uma rampa, com comprimento igual a 14 m e inclinação de 7º em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela deve servir para vencer um desnível com altura máxima de
Use: sen 7º = 0,12; cos 7º = 0,99 e tg 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Validar resposta Gabarito explicadoA rampa forma um triângulo retângulo onde o comprimento é de 14 m, fazendo um ângulo de 7º em relação à horizontal, onde a altura é o cateto oposto ao ângulo.
Utilizando seno de 7°:
A altura que a rampa deve vencer é de 1,68 m.
(Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30º e máxima de 45º.
Nestas condições e considerando , quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso?
Ver RespostaResposta: O comprimento da rampa de acesso será 7 m no mínimo e 10 m no máximo.
O projeto já prevê e fixa a altura em 5 m. Precisamos calcular o comprimento da rampa, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, para os ângulos de 30° e 45°.
Para o cálculo utilizamos o seno do ângulo, sendo a razão entre o cateto oposto, 5m, e a hipotenusa r, que é o comprimento da rampa.
Para os ângulos notáveis 30° e 45° os valores de seno são:
Para 30°
Para 45°
Racionalizando
Substituindo o valor de
(EPCAR 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.
O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero.
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e raio R.
O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60º com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.
A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre
a) 18 e 19
b) 19 e 20
c) 20 e 21
d) 22 e 23
Validar resposta Gabarito explicadoObjetivo
Determinar o comprimento do segmento , raio da circunferência da sombra.
Dados
Utilizando a tangente de 60° determinamos a parte destacada em vermelho na seguinte imagem:
Considerando a tangente de 60° = e sendo a tangente a razão entre o cateto oposto ao ângulo e seu adjacente, temos:
Racionalizando
O comprimento AO é
Aproximando o valor de
A medida aproximada do segmento AO é de 20,3 m, ou seja, um valor entre 20 e 21.
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