Exercícios de seno, cosseno e tangente

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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

    Estude com os exercícios de seno, cosseno e tangente resolvidos. Pratique e tire suas dúvidas com os exercícios comentados.

    Questão 1

    Determine os valores de x e y no triângulo a seguir. Considere sen 37º = 0,60, cosseno de 37º = 0,79 e tan 37º = 0,75.

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    Resposta: y = 10,2 m e x = 13,43 m

    Para determinar y, usamos o seno de 37º, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Vale lembrar que a hipotenusa é o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo, vale 17 m.

    Para determinar x, podemos utilizar o cosseno de 37º, que é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo de 37º e a hipotenusa.

    Questão 2

    No triângulo retângulo a seguir, determine o valor do ângulo , em graus, e seu seno, cosseno e tangente.

    Considere:

    sen 28º = 0,47 cos 28º = 0,88

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    Resposta: ,

    Em um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Sendo um triângulo retângulo há um ângulo de 90º, assim, restam outros 90º para os dois ângulos.

    Desta forma temos:

    Como estes ângulos são complementares (a partir de um deles, o outro é o quanto falta para completar 90º), vale que:

    cos 62º = sen 28º = 0,47

    e

    sen 62º = cos 28º = 0,88

    Cálculo da tangente

    A tangente é a razão entre o seno e o cosseno.

    Questão 3

    Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz 45º em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.

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    Resposta: A altura da casa é de 23 m.

    Para determinar uma altura, conhecendo o ângulo de inclinação, utilizamos a tangente do ângulo de 45°.

    A tangente de 45° é igual a 1.

    A casa e a sombra no chão, são os catetos de um triângulo retângulo.

    Assim, a altura da casa é de 23 m.

    Questão 4

    Um agrimensor é um profissional que utiliza conhecimentos matemáticos e geométricos para fazer medições e estudar uma superfície. Utilizando um teodolito, ferramenta que, entre outras funções mede ângulos, posicionado a 37 metros de distância de um edifício, ele encontrou um ângulo de 60° entre um plano paralelo ao solo e altura do edifício. Se o teodolito estava sobre um tripé, a 180 cm do chão, determine a altura do edifício em metros.

    Considere

    Ver Resposta

    Resposta: A altura do prédio é de 65,81 m.

    Fazendo um rascunho da situação temos:

    Assim, a altura do prédio pode ser determinada utilizando a tangente de 60º, a partir da altura onde o teodolito está, somando o resultado com 180 cm ou, 1,8 m, pois é a altura que ele está do chão.

    A tangente de 60° é igual a .

    Altura a partir do teodolito

    Altura total

    64,01 + 1,8 = 65,81 m

    A altura do prédio é de 65,81 m.

    Questão 5

    Determine o perímetro do pentágono.

    Considere: sen 67° = 0,92 cos 67° = 0,39 tan 67° = 2,35

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    Resposta: o perímetro é de 219,1 m.

    O perímetro é a soma dos lados do pentágono. Como há uma parte retangular com a medida de 80 m, o lado oposto também tem 80 m.

    O perímetro é dado por:

    P = 10 + 80 + 80 + a + b P = 170 + a + b

    Sendo a, paralelo à linha azul tracejada, podemos determinar seu comprimento utilizando a tangente de 67°.

    Para determinar o valor de b, utilizamos o cosseno de 67°

    Desta forma, o perímetro é:

    P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

    Questão 6

    Determine o seno e o cosseno de 1 110°.

    Ver Resposta

    Considerando a circunferência trigonométrica temos que uma volta completa possui 360°.

    Ao dividirmos 1110° por 360° temos como resultado 3,0833 ... . Isto significam 3 voltas completas e um pouco mais.

    Fazendo 360° x 3 = 1080° e subtraindo de 1110 temos:

    1110° - 1080° = 30°

    Considerando o sentido anti-horário como positivo, após três voltas completas voltamos ao início, 1080° ou 0°. A partir deste ponto avançamos mais 30°.

    Assim, o seno e o cosseno de 1110° são iguais ao seno e ao cosseno de 30°

    Questão 7

    (CEDERJ 2021) Estudando para uma prova de trigonometria, Júlia aprendeu que sen² 72° é igual a

    1 – cos² 72°.

    cos² 72° – 1.

    tg² 72° – 1.

    1 – tg² 72º.

    Validar resposta Gabarito explicado

    A relação fundamental da trigonometria diz que:

    Onde x é o valor do ângulo.

    Fazendo x = 72º e isolando o seno, temos:

    Questão 8

    As rampas são uma boa forma de assegurar a acessibilidade para cadeirantes e indivíduos com mobilidade reduzida. A acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos é assegurada em lei.

    A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), de acordo com a Lei Brasileira de Inclusão da Pessoa com Deficiência (13.146/2015), regula a construção e define a inclinação das rampas, bem como os cálculos para a sua construção. As diretrizes de cálculo da ABNT, indicam um limite máximo de inclinação de 8,33% (proporção de 1:12). Isso significa que uma rampa, para vencer um desnível de 1 m, deve ter, no mínimo, 12 m de comprimento e isso define que o ângulo de inclinação da rampa, em relação ao plano horizontal, não pode ser maior que 7°.

    De acordo com as informações anteriores, para que uma rampa, com comprimento igual a 14 m e inclinação de 7º em relação ao plano, esteja dentro das normas da ABNT, ela deve servir para vencer um desnível com altura máxima de

    Use: sen 7º = 0,12; cos 7º = 0,99 e tg 7º = 0,12.

    a) 1,2 m.

    b) 1,32 m.

    c) 1,4 m.

    d) 1,56 m.

    e) 1,68 m.

    Validar resposta Gabarito explicado

    A rampa forma um triângulo retângulo onde o comprimento é de 14 m, fazendo um ângulo de 7º em relação à horizontal, onde a altura é o cateto oposto ao ângulo.

    Utilizando seno de 7°:

    A altura que a rampa deve vencer é de 1,68 m.

    Questão 9

    (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30º e máxima de 45º.

    Nestas condições e considerando , quais deverão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do comprimento desta rampa de acesso?

    Ver Resposta

    Resposta: O comprimento da rampa de acesso será 7 m no mínimo e 10 m no máximo.

    O projeto já prevê e fixa a altura em 5 m. Precisamos calcular o comprimento da rampa, que é a hipotenusa do triângulo retângulo, para os ângulos de 30° e 45°.

    Para o cálculo utilizamos o seno do ângulo, sendo a razão entre o cateto oposto, 5m, e a hipotenusa r, que é o comprimento da rampa.

    Para os ângulos notáveis 30° e 45° os valores de seno são:

    Para 30°

    Para 45°

    Racionalizando

    Substituindo o valor de

    Questão 10

    (EPCAR 2020) À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.

    O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero.

    O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e raio R.

    O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60º com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.

    Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.

    A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre

    a) 18 e 19

    b) 19 e 20

    c) 20 e 21

    d) 22 e 23

    Validar resposta Gabarito explicado

    Objetivo

    Determinar o comprimento do segmento , raio da circunferência da sombra.

    Dados

    • Altura de O até o VANT é de 30 m.
    • O raio do VANT é de 3 m.

    Utilizando a tangente de 60° determinamos a parte destacada em vermelho na seguinte imagem:

    Considerando a tangente de 60° = e sendo a tangente a razão entre o cateto oposto ao ângulo e seu adjacente, temos:

    Racionalizando

    O comprimento AO é

    Aproximando o valor de

    A medida aproximada do segmento AO é de 20,3 m, ou seja, um valor entre 20 e 21.

    Estude também com:

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