Na Geometria Analítica, o cálculo da distância entre dois pontos permite encontrar a medida do segmento de reta que os une.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com as resoluções comentadas.
Qual a distância entre dois pontos que possuem as coordenadas P (–4,4) e Q (3,4)?
Ver RespostaResposta correta: dPQ = 7.
Observe que as ordenadas dos pontos são iguais, logo, o segmento de reta formado é paralelo ao eixo x. A distância então é dada pelo módulo da diferença entre as abscissas.
Substituindo as abscissas dos pontos na fórmula, temos
Veja a representação dos pontos no plano cartesiano.
dPQ = 7 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Determine a distância entre os pontos R (2,4) e T (2,2).
Ver RespostaResposta correta: dRT = 2.
As abscissas das coordenadas são iguais, sendo assim, o segmento de reta formado está paralelo ao eixo y e a distância é dada pela diferença entre as ordenadas.
Substituindo as ordenadas na fórmula, temos
Observe a representação dos pontos no plano cartesiano.
dRT = 2 u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Distância entre dois pontos
Sejam D (2,1) e C (5,3) dois pontos no plano cartesiano, qual a distância de DC?
Ver RespostaResposta correta: dDC = .
Observe no plano cartesiano que o segmento de reta formado não está paralelo a nenhum eixo.
Sendo e , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.
Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:
A distância entre os pontos é de dDC = u.c. (unidades de medida de comprimento).
Veja também: Teorema de Pitágoras
O triângulo ABC possui as coordenadas A (2, 2), B (–4, –6) e C (4,–12). Qual o perímetro desse triângulo?
Ver RespostaResposta correta:
1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.
2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.
3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.
Podemos observar que o triângulo tem dois lados iguais dAB = dBC, sendo assim, o triângulo é isósceles e seu perímetro é:
Veja também: Perímetro do triângulo
(UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:
a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12
Ver RespostaAlternativa correta: c) 1 ou 13.
1º passo: Substituir os valores das coordenadas e da distância na fórmula.
2º passo: Eliminar a raiz elevando os dois termos ao quadrado e encontrar a equação que determina o y.
3º passo: Aplicar a fórmula de Bhaskara e encontrar as raízes da equação.
Para que a distância entre os pontos seja igual a 10, o valor de y deve ser 1 ou 13.
Veja também: Fórmula de Bhaskara
(UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) equilátero. b) retângulo e isósceles. c) isósceles e não retângulo. d) retângulo e não isósceles. e) n.d.a.
Ver RespostaAlternativa correta: c) isósceles e não retângulo.
1º passo: Calcular a distância de AB.
2º passo: Calcular a distância de AC.
3º passo: Calcular a distância de BC.
4º passo: Julgar as alternativas.
a) ERRADA. Para um triângulo ser equilátero os três lados devem ter a mesma medida, mas o triângulo ABC tem um dos lados diferente.
b) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo pois não obedece ao Teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos catetos ao quadrado.
c) CORRETA. O triângulo ABC é isósceles, pois possui a medida de dois lados iguais.
d) ERRADA. O triângulo ABC não é retângulo, mas é isósceles.
e) ERRADA. O triângulo ABC é isósceles.
Veja também: Triângulo isósceles
(PUC-RJ) Se os pontos A = (–1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é
a) 1 b) 2 c) 4 d) e)
Ver RespostaAlternativa correta: b) 2.
Sendo os pontos A, B e C vértices de um triângulo equilátero, isso quer dizer que as distâncias entre os pontos são iguais, pois esse tipo de triângulo possui os três lados com a mesma medida.
Como os pontos A e B têm suas coordenadas, substituindo-as na fórmulas encontramos a distância.
Logo, dAB = dAC = 2.
Veja também: Triângulo Equilátero
(UFSC) Dados os pontos A (-1; -1), B (5; -7) e C (x; 2), determine x, sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.
a) X = 8 b) X = 6 c) X = 15 d) X = 12 e) X = 7
Ver RespostaAlternativa correta: a) X = 8.
1º passo: Montar a fórmula para calcular as distâncias.
Se A e B são equidistantes de C, quer dizer que os pontos encontram-se à mesma distância. Logo, dAC = dBC e a fórmula para calcular é:
Anulando-se as raízes dos dois lados, temos:
2º passo: Resolver os produtos notáveis.
3º passo: Substituir os termos na fórmula e resolvê-la.
Para que o ponto C seja equidistante dos pontos A e B, o valor de x deve ser 8.
Veja também: Produtos notáveis
(Uel) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é
a) 4 b) 4√2 c) 8 d) 8√2 e) 16
Ver RespostaAlternativa correta: a) 4.
1º passo: calcular a distância entre os pontos A e C.
2º passo: Aplicar o Teorema de Pitágoras.
Se a figura é um quadrado e o segmento de reta AC é sua diagonal, então quer dizer que o quadrado foi dividido em dois triângulos retângulos, que possui um ângulo interno de 90º.
Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma do quadrado dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.
3º passo: Calcular a área do quadrado.
Substituindo o valor do lado na fórmula da área do quadrado, temos:
Veja também: Triângulo retângulo
(CESGRANRIO) A distância entre os pontos M (4,-5) e N (-1,7) do plano x0y vale:
a) 14 b) 13 c) 12 d) 9 e) 8
Ver RespostaAlternativa correta: b) 13.
Para calcular a distância entre os pontos M e N, basta substituir as coordenadas na fórmula.
Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica
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