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Exercícios de Matemática

Exercícios sobre números complexos

Os números complexos são números que apresentam a forma , onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b, sendo i a unidade imaginária.

Questão 1

Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?

a) 2 + 3i e 1 – i b) 3 + 2i e -4 – i c) 4 + 3i e 2 – i d) 1 + 2i e -3 – i

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Reposta correta: c) 4 + 3i e 2 – i.

Operação de soma:

z1 + z2 = (a + c, b + d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Portanto:

Operação de subtração:

z1 – z2 = (a – c, b – d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Portanto:

Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.

Questão 2

Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?

a) z = 4 – 2i b) z = 4 – 3i c) z = 2 – 2i d) z = 1 – 2i

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Reposta correta: b) z = 4 – 3i.

A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:

z = x + yi

Onde:

x é a parte real de z y é a parte imaginária de z

Portanto:

Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.

Questão 3

O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).

a) z1 + z2 b) z1 –z2 c) z1z2

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Resposta correta: c) z1z2.

Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas nas alternativas.

a) z1 + z2

b) z1 -z2

c) z1z2

Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z1 e z2.

Questão 4

O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

a) 3024 b) 4096 c) 5082 d) 1294

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Resposta correta: b) 4096.

Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.

Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.

Agora, calculamos (z2)4.

Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.

Questão 5

Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5? (Lembre-se que i2 = -1).

a) -2 + i e -2 – i b) -1 + i e -1 – i c) -2 + i e -1 + i d) -1 + 2i e -1 + i

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Resposta correta: a) -2 + i e -2 - i.

Para resolver a equação x2 + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:

Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5 são -2 + i e -2 - i.

Questão 6

Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um número real?

a) x = 1 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 2

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Resposta correta: a) x = 1.

Um número complexo é formado por:

Portanto, para um número complexo ser real é necessário que a parte imaginária seja nula. Sendo assim, para z = x + (x2 - 1)i ser um número real x2-1 deve ser igual a 0.

x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1

Questão 7

Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira?

a) x = 4 e y = 6 b) x = 2 e y = 6 c) x = 4 e y = 7 d) x = 5 e y = 9

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Resposta correta: a) x = 4 e y = 6.

Sendo dois números complexos z1 = (a, b) e z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:

a + bi = c + di quando a = c e b = d

Então, para 2x + (y – 1)i = 8 + 5i, temos:

Portanto, os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira devem ser 4 e 6, respectivamente.

Questão 8

Qual o resultado da divisão ? (Lembre-se que i2 = -1).

a) 2 – 4i b) 3 – 5i c) 5 – 2i d) 2 – i

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Resposta correta: b) 3 - 5i.

Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Então, se z = a + bi, logo z = a – bi

Portanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.

Questão 9

(UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

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Resposta correta: – 2 + 18i

Primeiro, devemos calcular o valor de a.c

Agora, calculamos a.c + b

Portanto, se a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , então o valor de a.c + b é igual a – 2 + 18i.

Questão 10

(FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo e , seu conjugado, então z = u2 + 3 é igual a:

a) – 6 – 2i b) 2i c) – 6 d) 8 + 2i e) – 6 + 2i

Ver Resposta

Resposta correta: b) 2i.

Primeiramente, devemos calcular o valor de u2.

Se u = 1 – 2i então o seu conjunto é = 1 + 2i e 3 = 3.(1+2i) = 3+6i

Agora, calculamos z = u2 + 3

Portanto, o resultado é 2i, conforme a letra b.

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