Exercícios sobre PA e PG

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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

    Estude progressão aritmética e geométrica com exercícios resolvidos e comentados passo a passo.

    Exercício 1

    Em uma PA, a2 = 5 e a7 = 15. Determine a4 e some os cinco primeiros termos desta PA.

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    Resposta correta: a4 = 9 e S = 35.

    Resolução

    1º passo: determinar a razão e a4. Para sair de a2 e chegar em a7, somamos 5r, pois é a "distância" entre 7 e 2.

    O termo a4 é o termo a2 mais 2r, pois, para sair de a2 e chegar em a4, "avançamos" 2r. Logo,

    Portanto, o quarto termo da PA é 9.

    2º passo: determinar a soma dos cinco primeiros termos desta PA.

    A soma dos termos de uma PA é dada por:

    a1 = a2 - r (pois retrocedemos uma posição na PA, a partir do a2) a1 = 5 - 2 = 3

    a5 = a7 - 2r (pois retrocedemos duas posições na PA, a partir do a7). a5 = 15 - 2.2 = 15 - 4 = 11

    Exercício 2

    (Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a

    a) 42 b) 36 c) 18 d) 9

    Ver Resposta

    Resposta: a) 42

    Pela PA, os termos que formam uma PG são a2, a4 e a8:

    A soma dos três termos é:

    Para determinar r, utilizamos a média geométrica:

    Elevando os dois lados ao quadrado

    Elevando o primeiro termo ao quadrado e fazendo a distributiva no segundo:

    Substituindo r na equação I, temos:

    Portanto, a soma dos três primeiros termos é igual a 42.

    Exercício 3

    (PM-SP 2019) Em 2015, uma grande empresa petrolífera iniciou o processo de reutilização da água usada para o resfriamento das peças que produzia e fez uma projeção de aumento gradual, em progressão aritmética, até o ano de 2050, do volume de água que será reutilizada, ano a ano.

    A tabela apresenta os volumes da água reutilizada, nos primeiros 3 anos:

    Considere que An seja o termo geral da progressão aritmética que indique o volume de água reutilizada, em milhões de m³, com n = 1, representando o volume de água reutilizada no ano de 2016, n = 2, representando o volume de água reutilizada no ano de 2017, e assim sucessivamente.

    Nessas condições, tem-se que

    a) An = 0,5n – 23,5. b) An = 23,5 + 0,5n. c) An = 0,5n + 23. d) An = 23 – 0,5n. e) An = 0,5n – 23.

    Ver Resposta

    Resposta correta: c) An = 0,5n + 23.

    Objetivo Determinar An em função de n.

    Resolução A razão da progressão aritmética é 0,5, pois 24 - 23,5 = 0,5.

    a1 = 23,5

    O termo geral de uma PA é dado por:

    Substituindo o valores:

    Exercício 4

    (CEDERJ 2021) A sequência (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) é uma progressão aritmética de razão 6. O quarto termo dessa progressão é

    a) 31. b) 33. c) 35. d) 37.

    Ver Resposta

    Resposta correta: a) 31

    Resolução

    O quarto termo é a3 + r, desta forma:

    Substituindo os valores encontrados:

    Exercício 5

    (Enem 2021) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela.

    Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente. O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será

    a) 2018. b) 2023. c) 2031. d) 2035. e) 2043.

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    Resposta correta: d) 2035.

    1ª parte: determinar 70% de 16.

    2ª parte: determinar após quantos períodos se atingirá 11,2 anos de estudo.

    A sequencia tempo de estudo é uma progressão aritmética (PA) com razão 0,6.

    r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

    a1 = 5,2

    A quantidade 11,2 anos será atingida em:

    A quantidade de 11,2 será atingida no 11º termo da PA.

    3ª parte: determinar qual é o 11º termo da PA dos anos.

    A razão é a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 anos

    Conclusão 70% dos 16 anos requeridos para concluir um curso de graduação serão atingidos em 2035.

    Exercício 6

    (Corpo de Bombeiros 2021) Um avião e um caminhão de bombeiros possuem reservatórios de água com capacidades de 12 mil e 8 mil litros de água, respectivamente. O caminhão possui uma bomba de 2,5 GPM, ou seja, é capaz de bombear 2,5 galões por minuto.

    A partir dessa situação hipotética, julgue o seguinte item, considerando que 1 galão seja igual a 3,8 litros de água.

    Se um tanque de água possui a capacidade de X mil litros, de modo que 8, X e 12 estejam em progressão geométrica, nesta ordem, então a capacidade desse tanque é menor do que 10 mil litros.

    Certo

    Errado

    Ver Resposta

    Resposta correta: certa

    Objetivo Verificar se X < 10.

    Resolução Em uma progressão geométrica, PG, o termo do meio é a média geométrica entre os extremos.

    De fato, a raiz quadrada aproximada de 96 é 9,79. Concluímos que a capacidade X do tanque é menor que 10 mil litros.

    Exercício 7

    (Aeronáutica 2021) Seja a P.G. (24, 36, 54, ...). Ao somar o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se

    a) 81/2 b) 405/2 c) 1215/4 d) 1435/4

    Ver Resposta

    Resposta correta: c) 1215/4

    Objetivo Somar a5 + a6

    Resolução

    Passo 1: determinar a razão q.

    A razão da PG é:

    Passo 2: determinar a5

    a4 = a3 . q a5 = a4 . q

    Substituindo a4 em a5:

    Passo 3: determinar a6

    a6 = a5 . q

    Substituindo a5 em a6:

    Passo 4: somar a5 + a6 substituindo os valores numéricos.

    Colocando 54 em evidência:

    Exercício 8

    (UERJ 2019) Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

    Admita que .

    Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão:

    a) aritmética de razão = – 8 b) aritmética de razão = – 6 c) geométrica de razão = 1/2 d) geométrica de razão = 1/4

    Ver Resposta

    Resposta correta: c) geométrica de razão = 1/2

    Resolução

    Passo 1: definir os perímetro p1, p2 e p3.

    Por paralelismo, verificamos que os lados do triângulo interior, são a metade do imediatamente exterior.

    Por exemplo, B2A2 = A1C2

    Desta forma, p2 é a metade de p1, assim como, p3 é a metade de p2. Temos:

    Passo 2: montar a progressão e classificá-la.

    Verifica-se que, para determinar p2, 18 é multiplicado por 1/2.

    Também, 9 multiplicado por 1/2 é 4,5.

    Conclusão Verificamos que a progressão é geométrica, com razão 1/2.

    Exercício 9

    (Enem 2021) O gráfico informa a produção registrada por uma indústria nos meses de janeiro, março e abril.

    Por problemas logísticos, não foi feito o levantamento sobre a produção do mês de fevereiro. Entretanto, as informações dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente, conforme aponta a curva de tendência traçada no gráfico.

    Assumindo a premissa de que o crescimento nesse período foi exponencial, pode-se inferir que a produção dessa indústria no mês de fevereiro, em milhar de unidade, foi

    a) 0. b) 120. c) 240. d) 300. e) 400.

    Ver Resposta

    Reposta correta: c) 240.

    Resolução

    O termo geral de uma PG é uma uma exponencial em função de n, onde a1 e q são números constantes.

    a1 = 120

    A razão q, pode ser determinada por a4 / a3, assim:

    A quantidade de fevereiro é a2, que é obtido multiplicando a1 por q.

    Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 240.

    Estude mais com:

    • Exercícios de progressão geométrica
    • Exercícios de progressão aritmética

    Veja também:

    • PA e PG: resumo, fórmulas e exercícios
    • Progressão geométrica
    • Progressão aritmética
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