Estude progressão aritmética e geométrica com exercícios resolvidos e comentados passo a passo.
Em uma PA, a2 = 5 e a7 = 15. Determine a4 e some os cinco primeiros termos desta PA.
Ver RespostaResposta correta: a4 = 9 e S = 35.
Resolução
1º passo: determinar a razão e a4. Para sair de a2 e chegar em a7, somamos 5r, pois é a "distância" entre 7 e 2.
O termo a4 é o termo a2 mais 2r, pois, para sair de a2 e chegar em a4, "avançamos" 2r. Logo,
Portanto, o quarto termo da PA é 9.
2º passo: determinar a soma dos cinco primeiros termos desta PA.
A soma dos termos de uma PA é dada por:
a1 = a2 - r (pois retrocedemos uma posição na PA, a partir do a2) a1 = 5 - 2 = 3
a5 = a7 - 2r (pois retrocedemos duas posições na PA, a partir do a7). a5 = 15 - 2.2 = 15 - 4 = 11
(Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a
a) 42 b) 36 c) 18 d) 9
Ver RespostaResposta: a) 42
Pela PA, os termos que formam uma PG são a2, a4 e a8:
A soma dos três termos é:
Para determinar r, utilizamos a média geométrica:
Elevando os dois lados ao quadrado
Elevando o primeiro termo ao quadrado e fazendo a distributiva no segundo:
Substituindo r na equação I, temos:
Portanto, a soma dos três primeiros termos é igual a 42.
(PM-SP 2019) Em 2015, uma grande empresa petrolífera iniciou o processo de reutilização da água usada para o resfriamento das peças que produzia e fez uma projeção de aumento gradual, em progressão aritmética, até o ano de 2050, do volume de água que será reutilizada, ano a ano.
A tabela apresenta os volumes da água reutilizada, nos primeiros 3 anos:
Considere que An seja o termo geral da progressão aritmética que indique o volume de água reutilizada, em milhões de m³, com n = 1, representando o volume de água reutilizada no ano de 2016, n = 2, representando o volume de água reutilizada no ano de 2017, e assim sucessivamente.
Nessas condições, tem-se que
a) An = 0,5n – 23,5. b) An = 23,5 + 0,5n. c) An = 0,5n + 23. d) An = 23 – 0,5n. e) An = 0,5n – 23.
Ver RespostaResposta correta: c) An = 0,5n + 23.
Objetivo Determinar An em função de n.
Resolução A razão da progressão aritmética é 0,5, pois 24 - 23,5 = 0,5.
a1 = 23,5
O termo geral de uma PA é dado por:
Substituindo o valores:
(CEDERJ 2021) A sequência (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) é uma progressão aritmética de razão 6. O quarto termo dessa progressão é
a) 31. b) 33. c) 35. d) 37.
Ver RespostaResposta correta: a) 31
Resolução
O quarto termo é a3 + r, desta forma:
Substituindo os valores encontrados:
(Enem 2021) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela.
Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente. O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será
a) 2018. b) 2023. c) 2031. d) 2035. e) 2043.
Ver RespostaResposta correta: d) 2035.
1ª parte: determinar 70% de 16.
2ª parte: determinar após quantos períodos se atingirá 11,2 anos de estudo.
A sequencia tempo de estudo é uma progressão aritmética (PA) com razão 0,6.
r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6
a1 = 5,2
A quantidade 11,2 anos será atingida em:
A quantidade de 11,2 será atingida no 11º termo da PA.
3ª parte: determinar qual é o 11º termo da PA dos anos.
A razão é a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 anos
Conclusão 70% dos 16 anos requeridos para concluir um curso de graduação serão atingidos em 2035.
(Corpo de Bombeiros 2021) Um avião e um caminhão de bombeiros possuem reservatórios de água com capacidades de 12 mil e 8 mil litros de água, respectivamente. O caminhão possui uma bomba de 2,5 GPM, ou seja, é capaz de bombear 2,5 galões por minuto.
A partir dessa situação hipotética, julgue o seguinte item, considerando que 1 galão seja igual a 3,8 litros de água.
Se um tanque de água possui a capacidade de X mil litros, de modo que 8, X e 12 estejam em progressão geométrica, nesta ordem, então a capacidade desse tanque é menor do que 10 mil litros.
Certo
Errado
Ver RespostaResposta correta: certa
Objetivo Verificar se X < 10.
Resolução Em uma progressão geométrica, PG, o termo do meio é a média geométrica entre os extremos.
De fato, a raiz quadrada aproximada de 96 é 9,79. Concluímos que a capacidade X do tanque é menor que 10 mil litros.
(Aeronáutica 2021) Seja a P.G. (24, 36, 54, ...). Ao somar o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se
a) 81/2 b) 405/2 c) 1215/4 d) 1435/4
Ver RespostaResposta correta: c) 1215/4
Objetivo Somar a5 + a6
Resolução
Passo 1: determinar a razão q.
A razão da PG é:
Passo 2: determinar a5
a4 = a3 . q a5 = a4 . q
Substituindo a4 em a5:
Passo 3: determinar a6
a6 = a5 . q
Substituindo a5 em a6:
Passo 4: somar a5 + a6 substituindo os valores numéricos.
Colocando 54 em evidência:
(UERJ 2019) Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.
Admita que .
Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão:
a) aritmética de razão = – 8 b) aritmética de razão = – 6 c) geométrica de razão = 1/2 d) geométrica de razão = 1/4
Ver RespostaResposta correta: c) geométrica de razão = 1/2
Resolução
Passo 1: definir os perímetro p1, p2 e p3.
Por paralelismo, verificamos que os lados do triângulo interior, são a metade do imediatamente exterior.
Por exemplo, B2A2 = A1C2
Desta forma, p2 é a metade de p1, assim como, p3 é a metade de p2. Temos:
Passo 2: montar a progressão e classificá-la.
Verifica-se que, para determinar p2, 18 é multiplicado por 1/2.
Também, 9 multiplicado por 1/2 é 4,5.
Conclusão Verificamos que a progressão é geométrica, com razão 1/2.
(Enem 2021) O gráfico informa a produção registrada por uma indústria nos meses de janeiro, março e abril.
Por problemas logísticos, não foi feito o levantamento sobre a produção do mês de fevereiro. Entretanto, as informações dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente, conforme aponta a curva de tendência traçada no gráfico.
Assumindo a premissa de que o crescimento nesse período foi exponencial, pode-se inferir que a produção dessa indústria no mês de fevereiro, em milhar de unidade, foi
a) 0. b) 120. c) 240. d) 300. e) 400.
Ver RespostaReposta correta: c) 240.
Resolução
O termo geral de uma PG é uma uma exponencial em função de n, onde a1 e q são números constantes.
a1 = 120
A razão q, pode ser determinada por a4 / a3, assim:
A quantidade de fevereiro é a2, que é obtido multiplicando a1 por q.
Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 240.
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