Exercícios sobre poliedros (com gabarito resolvido)

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Os poliedros são figuras geométricas tridimensionais formadas por faces, arestas e vértices. Pratique exercícios sobre este tema da Geometria.

Exercício 1

Qual das seguintes formas geométricas não é classificada como um poliedro?

A) Cubo

B) Prisma triangular

C) Pirâmide de base quadrada

D) Esfera

E) Tetraedro

Validar resposta Gabarito explicado

Poliedros são sólidos geométricos formados por faces planas (polígonos).

O cubo, o prisma triangular, a pirâmide de base quadrada e o tetraedro possuem faces planas e, portanto, são poliedros.

A esfera não possui faces planas, por ser formada por uma superfície curva, logo não é um poliedro.

Resposta correta: D) Esfera.

Exercício 2

Um grupo de exploradores encontrou um artefato antigo com inscrições misteriosas. As inscrições descrevem sólidos geométricos com as seguintes características:

• Sólido A: Possui 6 faces quadradas idênticas.
• Sólido B: Possui 12 faces pentagonais idênticas.
• Sólido C: Possui 4 faces triangulares idênticas.
• Sólido D: Possui 6 faces retangulares, mas não todas idênticas.
• Sólido E: Possui 20 faces triangulares idênticas.

Qual dos sólidos descritos NÃO faz parte do conjunto dos Sólidos de Platão?

a) Sólido A

b) Sólido B

c) Sólido C

d) Sólido D

e) Sólido E

Validar resposta Gabarito explicado

Sólidos de Platão são poliedros regulares convexos, onde todas as faces são polígonos regulares e congruentes, e todos os vértices possuem o mesmo número de arestas.

Sólido A (Cubo): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.

Sólido B (Dodecaedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.

Sólido C (Tetraedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.

Sólido D (Paralelepípedo): Não se encaixa na definição, pois suas faces não são todas idênticas.

Sólido E (Icosaedro): Se encaixa na definição de Sólido de Platão.

Portanto, o Sólido D (paralelepípedo) é o único que não faz parte do conjunto dos Sólidos de Platão.

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Exercício 3

Um poliedro convexo possui 12 faces, sendo 8 faces triangulares e 4 faces hexagonais. Determine o número de vértices desse poliedro.

a) 14

b) 16

c) 18

d) 20

e) 22

Validar resposta Gabarito explicado

Passo 1: Identificar as informações dadas

Poliedro convexo com 12 faces.

• 8 faces são triangulares
• 4 faces são hexagonais

Passo 2: Calcular o número total de arestas

Primeiro, vou calcular o número de arestas a partir das faces:

• Cada face triangular tem 3 arestas.
• Cada face hexagonal tem 6 arestas.

Total de arestas (contando duplicações):

Das faces triangulares: 8 × 3 = 24 arestas

Das faces hexagonais: 4 × 6 = 24 arestas

Total: 24 + 24 = 48 arestas

Mas cada aresta é contada exatamente 2 vezes (uma vez para cada face que a compartilha), então: Número real de arestas (A) = 48 ÷ 2 = 24 arestas.

Passo 3: Aplicar a Relação de Euler

A Relação de Euler para poliedros convexos é: V + F - A = 2

Onde:

• V é o número de vértices (que queremos encontrar)
• F é o número de faces (sabemos que é 12)
• A é o número de arestas (calculamos como 24)

Substituindo:

V + 12 - 24 = 2

V = 2 + 24 - 12

V = 14

Verificação

Podemos verificar nosso resultado usando a fórmula alternativa: 2A = 3F₃ + 6F₆ 2(24) = 3(8) + 6(4) 48 = 24 + 24 48 = 48 ✓

Portanto, o poliedro possui 14 vértices.

A resposta correta é a) 14.

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Exercício 4

Um arquiteto está projetando uma pirâmide para um monumento histórico. Ele decide que a pirâmide terá 15 faces laterais triangulares. Com base nessa informação, determine o número de vértices e arestas que a pirâmide terá:

a) 16 vértices e 30 arestas.

b) 15 vértices e 16 arestas.

c) 30 vértices e 16 arestas.

d) 16 vértices e 15 arestas.

e) 15 vértices e 30 arestas.

Validar resposta Gabarito explicado

a) 16 vértices e 30 arestas.

Explicação:

Faces laterais: A pirâmide tem 15 faces laterais triangulares, o que significa que sua base é um polígono de 15 lados.

Vértices: A pirâmide terá 15 vértices na base e 1 vértice no topo, totalizando 16 vértices.

Arestas: A base da pirâmide tem 15 arestas, e há 15 arestas ligando a base ao vértice do topo, totalizando 30 arestas.

Exercício 5

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Veja também:

• Poliedro: o que é, classificação, exercícios
• Sólidos Geométricos: exemplos, nomes e planificação
• Geometria espacial: quais são as figuras e suas fórmulas

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ASTH, Rafael. Exercícios sobre poliedros (com gabarito resolvido). Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-poliedros/. Acesso em:

Veja também

• Geometria espacial: quais são as figuras e suas fórmulas
• Relação de Euler: vértices, faces e arestas
• Cubo
• Volume da Pirâmide
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• Exercícios sobre Volume da Pirâmide resolvidos
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