Estude com a lista de exercícios sobre o princípio fundamental da contagem com gabarito.
O princípio fundamental da contagem é uma ferramenta matemática na área da análise combinatória. Para compreender e ir bem nas avaliações é importante praticar. Aproveite e tire suas dúvidas com as respostas comentadas.
Uma pizzaria oferece as seguintes opções de sabores de pizza: frango, calabresa, presunto e vegetariana. Além disso, a pizzaria oferece três tamanhos de pizza: pequeno, médio e grande. Quantas composições diferentes de pizza podemos criar?
Ver RespostaResposta: 12 composições.
Para cada sabor há três opções de tamanho. Podemos usar o princípio fundamental da contagem para resolver o problema.
Temos duas escolhas independentes: a escolha do sabor , com quatro possibilidades, e a escolha do tamanho, com três opções.
Assim, o número total de combinações de pizza possíveis é:
4 (opções de sabor) x 3 (opções de tamanho) = 12
Portanto, há 12 combinações diferentes de pizza que podem ser feitas na pizzaria.
Considere que uma pessoa possui 3 camisas de cores diferentes (vermelha, azul e branca), 2 calças de modelos diferentes (jeans e social) e 2 sapatos de tipos diferentes (tênis e sapato social). De quantas modos diferentes essa pessoa pode se vestir?
Ver RespostaResposta: 12 combinações
As escolhas da camisa, da calça e do sapato são independentes. Isto significa que a escolha da cor da camisa não é um fator limitador para a escolha da calça e do sapato.
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos
3 camisas x 2 calças x 2 sapatos = 12 combinações
Uma loja de doces oferece 4 sabores de sorvete (chocolate, morango, baunilha e creme) e 3 coberturas (calda de chocolate, calda de caramelo e chantilly). Quantas combinações diferentes de sorvete com cobertura é possível elaborar na loja?
Ver RespostaResposta: 12 combinações.
4 (opções de sorvete) x 3 (opções de cobertura) = 12
Portanto, há 12 combinações diferentes de sorvete com cobertura que podem ser feitas na loja.
Um aluno precisa escolher duas atividades extracurriculares para participar na escola, uma cultural e outra esportiva. Ele pode escolher entre o Clube de Teatro, o Clube de Música ou o Clube de Dança. Além disso, ele deve escolher a equipe de Futebol ou a de Vôlei. Quantas escolhas diferentes o aluno pode fazer?
Ver RespostaResposta: 6 escolhas diferentes.
3 atividades culturais x 2 atividades esportivas = 6
Uma pessoa viajará de avião entre duas cidades onde, é necessário fazer conexão, pois nenhuma companhia oferece voos diretos. Da cidade A até a cidade B, onde será realizada a conexão, três companhias aéreas oferecem opções de voos. Da cidade B para a C, outras quatro companhias realizam este trajeto.
De quantas formas diferentes este passageiro pode viajar de A para C e, voltar para A, utilizando voos diferentes.
Ver RespostaResposta: 72 opções.
De A para B há 3 opções e de B para C há 4 opções. Pelo princípio fundamental da contagem, o caminho de ida possui:
3 . 4 = 12 opções
Para voltar de C para B, sem repetir o mesmo voo, há três opções, pois das quatro que ligavam estas duas cidades, uma já foi utilizada.
Da cidade B para A há 2 opções que ainda não foram utilizadas. Para a volta há:
3 . 2 = 6 opções
Ao total haverão:
12 . 6 = 72 opções
(Enem 2022) Uma montadora de automóveis divulgou que oferta a seus clientes mais de 1 000 configurações diferentes de carro, variando o modelo, a motorização, os opcionais e a cor do veículo. Atualmente, ela oferece 7 modelos de carros com 2 tipos de motores: 1.0 e 1.6. Já em relação aos opcionais, existem 3 escolhas possíveis: central multimídia, rodas de liga leve e bancos de couro, podendo o cliente optar por incluir um, dois, três ou nenhum dos opcionais disponíveis.
Para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mínima de cores que a montadora deverá disponibilizar a seus clientes é
a) 8.
b) 9.
11.
18.
24.
Validar resposta Gabarito explicadoHá 7 opções de modelos e 2 de motores.
Em relação os opcionais: bancos de couro, rodas de liga e central multimídia é possível escolher os três, dois, um e nenhum.
Assim, em relação aos opcionais, há 8 escolhas possíveis.
Aplicando o princípio fundamental da contagem e considerando o número de cores como x, temos:
Desse modo, deve haver 9 cores no mínimo.
(Enem 2019) Uma pessoa comprou um aparelho sem fio para transmitir músicas a partir do seu computador para o rádio de seu quarto. Esse aparelho possui quatro chaves seletoras e cada uma pode estar na posição 0 ou 1. Cada escolha das posições dessas chaves corresponde a uma frequência diferente de transmissão.
A quantidade de frequências diferentes que esse aparelho pode transmitir é determinada por
a) 6.
b) 8.
c) 12.
d) 16.
e) 24
Validar resposta Gabarito explicadoPara a primeira chave há duas opções, para a segunda chave duas opções, assim como para a terceira e para quarta.
Utilizando o princípio fundamental da contagem, há:
2 . 2 . 2 . 2 = 16
Há 16 frequências diferentes.
As Resoluções do CONTRAN nº 590, de 24/05/2016, nº 279, de 06/03/2018, e nº 741, de 17/09/2018, estabeleceram um novo padrão das placas de identificação de veículos brasileiros, seguindo as regras do MERCOSUL. Segundo essas resoluções, “as Placas de Identificação Veicular [...] deverão [...] conter 7 (sete) caracteres alfanuméricos”. Assim, no Brasil, “a placa MERCOSUL terá a seguinte disposição: LLLNLNN, em que L é letra e N é número”, em substituição ao padrão pré-Mercosul, LLLNNNN.
Supondo que não haja restrição em relação aos caracteres em nenhum dos padrões apresentados, quantas placas a mais, em relação ao sistema antigo, poderão ser formadas com o novo padrão de emplacamento?
a) 16.
b)
c)
d) 24.
e)
Validar resposta Gabarito explicadoHá 26 opções de letras e 10 opções de algarismos. Como não há restrições, é possível repetí-los.
Modelo Mercosul LLLNLNN
Usando o princípio multiplicativo, temos:
Modelo pré-Mercosul LLLNNNN
Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ .
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.
Ele sabe que o e-mail [email protected] já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?
a) 59
b) 60
c) 118
d) 119
e) 120
Validar resposta Gabarito explicadoA palavra E-d-u-a-r-d-o possui sete letras. Como as letras edu devem permanecer sempre juntas, temos:
edu-a-r-d-o
Construir anagramas significa embaralhar as letras. Neste caso, consideramos edu como um único bloco ou, uma letra.
edu-a-r-d-o possui cinco elementos.
Para a primeira escolha possui há 5 opções;
Para a segunda escolha há 4 opções;
Para a terceira escolha há 3 opções;
Para a quarta escolha há 2 opções;
Para a quinta escolha há 1 opções;
Como queremos determinar o número total de opções, utilizamos o princípio multiplicativo.
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
No entanto, é preciso lembrar que uma destas 120 combinações já está sendo usada por outro usuário, que é o próprio nome eduardo.
Então, 120 - 1 = 119
(UFPE) Uma prova de Matemática é constituída de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas, das quais deve ser assinalada como resposta apenas uma. Respondendo ao acaso todas as questões, o número de maneiras diferentes que se pode preencher o cartão de resposta é:
a) 80.
b) .
c) .
d)
e)
Validar resposta Gabarito explicadoSão 5 alternativas na 1ª questão e 5 alternativas na 2ª questão e 5 alternativas na terceira questão…
Assim, temos uma sequência de multiplicações por cinco com 16 fatores.
5 x 5 x 5 x 5 x ... x 5
Utilizando a propriedade de multiplicação de potência de bases iguais, repetimos a base e somamos o expoente. Como o expoente é 1 em cada fator, a resposta é:
Aprenda mais sobre contagem e análise combinatória com:
ASTH, Rafael. Exercícios sobre princípio fundamental da contagem. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-principio-fundamental-da-contagem/. Acesso em:
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