A Geometria Analítica estuda elementos geométricos em um sistema de coordenadas num plano ou espaço. Estes objetos geométricos são determinados por sua localização e posição em relação a pontos e eixos deste sistema de orientação.
Desde povos da antiguidade, como egípcios e romanos, a ideia de coordenadas já aparece na história. Mas é no século XVII, com os trabalhos de René Descartes e Pierre de Fermat que este campo da Matemática se sistematiza.
O Sistema Cartesiano Ortogonal é uma base de referência para localização de coordenadas. É constituído, em um plano, por dois eixos perpendiculares entre si.
Um ponto qualquer no plano possui a coordenada P(x, y).
x é a abscissa do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo x até a origem. y é a ordenada do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.
A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que une estes dois pontos.
Fórmula da distância entre dois pontos e quaisquer.
Ponto médio é o ponto que divide um segmento em duas partes de mesma medida.
Sendo o ponto médio de um segmento , suas coordenadas são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas.
e
Dados os pontos: .
Estes três pontos estarão alinhados se o determinante da seguinte matriz for igual a zero.
Exemplo
O coeficiente angular de uma reta é a tangente de sua inclinação em relação ao eixo x.
Para obter o coeficiente angular a partir de dois pontos:
Se m > 0 a reta é ascendente, caso contrário, se m < 0, a reta é decrescente.
Onde a, b e c são números reais constantes e, a e b não são simultaneamente nulos.
Exemplo
Dado um ponto e o coeficiente angular .
A equação da reta será:
Exemplo
Onde: m é o coeficiente angular; n é o coeficiente linear.
n é ordenada em que a reta intersecta o eixo y.
Exemplo
Veja Equação da Reta.
Duas retas distintas são paralelas quando seus coeficientes angulares são iguais.
Se uma reta r possui coeficiente angular , e uma reta s possui coeficiente angular , estas são paralelas quando:
Para isto, suas inclinações devem ser iguais.
As tangentes são iguais quando os ângulos são iguais.
Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.
Por sua vez, os coeficientes angulares diferem quando seus ângulos de inclinação em relação ao eixo x, são diferentes.
Duas restas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares é igual a -1.
Duas retas r e s, distintas, com coeficientes angulares e , são perpendiculares se, e somente se:
ou
Outro modo de saber se duas retas são perpendiculares é a partir de suas equações na forma geral.
Sendo as equações das retas r e s:
Duas retas suas perpendiculares quando:
Veja Retas Perpendiculares.
Circunferência é o lugar geométrico no plano em que todos os pontos P(x, y) estão a mesma distância r do seu centro C(a, b), onde r é a medida de ser raio.
Onde:r é o raio, a distância entre qualquer ponto de seu arco e o centro C.a e b são as coordenadas do centro C.
É obtida ao desenvolver os termos elevados ao quadrado da equação reduzida da circunferência.
É muito comum aparecer a forma geral da equação da circunferência nos exercícios, também conhecida como forma normal.
A palavra cônica vêm de cone e se refere as curvas obtidas ao seccioná-lo. Elipse, hipérbole e parábola são curvas chamadas de cônicas.
Elipse é uma curva fechada obtida pela secção de um cone circular reto por um plano oblíquo ao eixo, que não passa pelo vértice e não é paralelo as suas geratrizes.
Em um plano, o conjunto de todos os pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos internos é constante.
Elementos da elipse:
Considere um ponto P(x, y) contido na elipse onde x é a abcissa e y a ordenada deste ponto.
Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo x.
Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo y.
Considerando um ponto como a origem do sistema cartesiano e, um ponto como centro da elipse.
Eixo maior AA, paralelo ao eixo x.
Eixo maior AA, paralelo ao eixo y.
Hipérbole é um conjunto de pontos em um plano onde a diferença entre dois pontos fixos F1 e F2 resulta em um valor constante e positivo.
Elementos da hipérbole:
Pelo triângulo B1OA2
Com eixo real sobre o eixo x e centro na origem.
Com eixo real sobre o eixo y e centro na origem.
Eixo real AA paralelo ao eixo x e centro .
Eixo real AA paralelo ao eixo y e centro .
Parábola é o lugar geométrico em que o conjunto de pontos P(x, y) estão a mesma distância de um ponto fixo F e de uma reta d.
Elementos da parábola:
Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y.
Se p>0 concavidade para cima. Se p<0 concavidade para baixo.
Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x.
Se p>0 concavidade para direita. Se p<0 concavidade para esquerda.
Com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice .
Com eixo de simetria paralelo ao eixo x e vértice .
Pratique com Exercícios sobre Geometria Analítica.
Aprenda mais em:Plano CartesianoDistância entre dois pontosCônicasCálculo do Coeficiente Angular
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