Geometria analítica

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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Escrito por Rafael Asth Professor de Matemática e Física Publicado em 11 agosto 2021

    A Geometria Analítica estuda elementos geométricos em um sistema de coordenadas num plano ou espaço. Estes objetos geométricos são determinados por sua localização e posição em relação a pontos e eixos deste sistema de orientação.

    Desde povos da antiguidade, como egípcios e romanos, a ideia de coordenadas já aparece na história. Mas é no século XVII, com os trabalhos de René Descartes e Pierre de Fermat que este campo da Matemática se sistematiza.

    Sistema cartesiano ortogonal

    O Sistema Cartesiano Ortogonal é uma base de referência para localização de coordenadas. É constituído, em um plano, por dois eixos perpendiculares entre si.

    • A origem O(0,0) deste sistema é a intersecção destes eixos.
    • O eixo x é o das abscissas.
    • O eixo y é o das ordenadas.
    • Convenciona-se a orientação anti-horária dos quatro quadrantes.

    Par ordenado

    Um ponto qualquer no plano possui a coordenada P(x, y).

    x é a abscissa do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo x até a origem. y é a ordenada do ponto P e constitui a distância entre sua projeção ortogonal no eixo y até a origem.

    Distância entre dois pontos

    A distância entre dois pontos no plano cartesiano é o comprimento do segmento que une estes dois pontos.

    Fórmula da distância entre dois pontos e quaisquer.

    Coordenadas do ponto médio

    Ponto médio é o ponto que divide um segmento em duas partes de mesma medida.

    Sendo o ponto médio de um segmento , suas coordenadas são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas.

    e

    Condição de alinhamento de três pontos

    Dados os pontos: .

    Estes três pontos estarão alinhados se o determinante da seguinte matriz for igual a zero.

    Exemplo

    Coeficiente angular de uma reta

    O coeficiente angular de uma reta é a tangente de sua inclinação em relação ao eixo x.

    Para obter o coeficiente angular a partir de dois pontos:

    Se m > 0 a reta é ascendente, caso contrário, se m < 0, a reta é decrescente.

    Equação geral da reta

    Onde a, b e c são números reais constantes e, a e b não são simultaneamente nulos.

    Exemplo

    Equação da reta conhecendo um ponto e o coeficiente angular

    Dado um ponto e o coeficiente angular .

    A equação da reta será:

    Exemplo

    Forma reduzida da equação da reta

    Onde: m é o coeficiente angular; n é o coeficiente linear.

    n é ordenada em que a reta intersecta o eixo y.

    Exemplo

    Veja Equação da Reta.

    Posição relativa entre duas retas paralelas em um plano

    Duas retas distintas são paralelas quando seus coeficientes angulares são iguais.

    Se uma reta r possui coeficiente angular , e uma reta s possui coeficiente angular , estas são paralelas quando:

    Para isto, suas inclinações devem ser iguais.

    As tangentes são iguais quando os ângulos são iguais.

    Posição relativa entre duas retas concorrentes em um plano

    Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.

    Por sua vez, os coeficientes angulares diferem quando seus ângulos de inclinação em relação ao eixo x, são diferentes.

    Retas perpendiculares

    Duas restas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares é igual a -1.

    Duas retas r e s, distintas, com coeficientes angulares e , são perpendiculares se, e somente se:

    ou

    Outro modo de saber se duas retas são perpendiculares é a partir de suas equações na forma geral.

    Sendo as equações das retas r e s:

    Duas retas suas perpendiculares quando:

    Veja Retas Perpendiculares.

    Circunferência

    Circunferência é o lugar geométrico no plano em que todos os pontos P(x, y) estão a mesma distância r do seu centro C(a, b), onde r é a medida de ser raio.

    Equação da circunferência na forma reduzida

    Onde:r é o raio, a distância entre qualquer ponto de seu arco e o centro C.a e b são as coordenadas do centro C.

    Equação geral da circunferência

    É obtida ao desenvolver os termos elevados ao quadrado da equação reduzida da circunferência.

    É muito comum aparecer a forma geral da equação da circunferência nos exercícios, também conhecida como forma normal.

    Cônicas

    A palavra cônica vêm de cone e se refere as curvas obtidas ao seccioná-lo. Elipse, hipérbole e parábola são curvas chamadas de cônicas.

    Elipse

    Elipse é uma curva fechada obtida pela secção de um cone circular reto por um plano oblíquo ao eixo, que não passa pelo vértice e não é paralelo as suas geratrizes.

    Em um plano, o conjunto de todos os pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos internos é constante.

    Elementos da elipse:

    • F1 e F2 são os focos da elipse;
    • 2c é distância focal da elipse. É a distância entre F1 e F2;
    • O ponto O é centro da elipse. É o ponto médio entre F1 e F2;
    • A1 e A2 são os vértices da elipse;
    • O segmento eixo maior e igual a 2a.
    • O segmento eixo menor e igual a 2b.
    • Excentricidade onde 0 < e < 1.

    Equação reduzida da elipse

    Considere um ponto P(x, y) contido na elipse onde x é a abcissa e y a ordenada deste ponto.

    Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo x.

    Centro da elipse na origem do sistema de coordenadas e eixo maior (AA) no eixo y.

    Equação reduzida da elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados

    Considerando um ponto como a origem do sistema cartesiano e, um ponto como centro da elipse.

    Eixo maior AA, paralelo ao eixo x.

    Eixo maior AA, paralelo ao eixo y.

    Hipérbole

    Hipérbole é um conjunto de pontos em um plano onde a diferença entre dois pontos fixos F1 e F2 resulta em um valor constante e positivo.

    Elementos da hipérbole:

    • F1 e F2 são os focos da hipérbole.
    • 2c = é a distância focal.
    • Centro da hipérbole é o ponto O, médio do segmento F1F2.
    • A1 e A2 são os vértices.
    • 2a = A1A2 é o eixo real ou transverso.
    • 2b = B1B2 é o eixo imaginário ou conjugado.
    • é a excentricidade.

    Pelo triângulo B1OA2

    Equação reduzida da hipérbole

    Com eixo real sobre o eixo x e centro na origem.

    Com eixo real sobre o eixo y e centro na origem.

    Equação da hipérbole com eixos paralelos aos eixos coordenados

    Eixo real AA paralelo ao eixo x e centro .

    Eixo real AA paralelo ao eixo y e centro .

    Parábola

    Parábola é o lugar geométrico em que o conjunto de pontos P(x, y) estão a mesma distância de um ponto fixo F e de uma reta d.

    Elementos da parábola:

    • F é o foco da parábola;
    • d é a reta diretriz;
    • Eixo de simetria é a reta que passa pelo foco F e é perpendicular à diretriz.
    • V é vértice da parábola.
    • p é o segmento de mesmo comprimento entre o foco F e o vértice V e, entre o vértice e a diretriz d.
    Equações reduzidas da parábola

    Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo y.

    Se p>0 concavidade para cima. Se p<0 concavidade para baixo.

    Com vértice na origem e eixo de simetria sobre o eixo x.

    Se p>0 concavidade para direita. Se p<0 concavidade para esquerda.

    Com eixo de simetria paralelo ao eixo y e vértice .

    Com eixo de simetria paralelo ao eixo x e vértice .

    Pratique com Exercícios sobre Geometria Analítica.

    Aprenda mais em:Plano CartesianoDistância entre dois pontosCônicasCálculo do Coeficiente Angular

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