As grandezas proporcionais têm seus valores aumentados ou diminuídos em uma relação que pode ser classificada como proporcionalidade direta ou inversa.
Uma grandeza é definida como algo que pode ser medido ou calculado, seja velocidade, área ou volume de um material, e é útil para comparar com outras medidas, muitas vezes de mesma unidade, representando uma razão.
A proporção é uma relação de igualdade entre razões e, assim, apresenta a comparação de duas grandezas em diferentes situações.
A igualdade entre a, b, c e d é lida da seguinte forma: a está para b, assim como c está para d.
A relação entre as grandezas podem ocorrer de maneira diretamente ou inversamente proporcional.
Quando a variação de uma grandeza faz com que a outra varie na mesma proporção, temos uma proporcionalidade direta. A proporcionalidade inversa é observada quando a mudança em uma grandeza produz uma alteração oposta na outra.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação da outra na mesma proporção, ou seja, duplicando uma delas, a outra também duplica; reduzindo pela metade, a outra também reduz na mesma quantidade... e assim por diante.
Graficamente a variação diretamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma reta que passa pela origem, pois temos y = k.x, sendo k uma constante.
Gráfico de y proporcional a xExemplo de proporcionalidade diretaUma impressora, por exemplo, tem a capacidade de imprimir 10 páginas por minuto. Se dobrarmos o tempo, dobramos a quantidade de páginas impressas. Da mesma forma, se pararmos a impressora na metade de um minuto, teremos a metade do número de impressões esperadas.
Agora, veremos com números a relação entre as duas grandezas.
Em uma gráfica são feitas impressões de livros escolares. Em 2 horas, são realizadas 40 impressões. Em 3 horas, a mesma máquina produz mais 60 impressões, em 4 horas, 80 impressões, e, em 5 horas, 100 impressões.
| Tempo (horas) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Impressões (número) | 40 | 60 | 80 | 100 |
A constante de proporcionalidade entre as grandezas é encontrada pela razão entre o tempo de trabalho da máquina e o número de cópias realizadas.
O quociente dessa sequência (1/20) recebe o nome de constante de proporcionalidade (k).
O tempo de trabalho (2, 3, 4 e 5) é diretamente proporcional ao número de cópias (40, 60, 80 e 100), pois ao dobrar o tempo de trabalho o número de cópias também dobra.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, ou seja, dobrando uma grandeza, a correspondente reduz pela metade; triplicando uma grandeza, a outra reduz para terça parte... e assim por diante.
Graficamente a variação inversamente proporcional de uma grandeza em relação à outra forma uma hipérbole, pois temos y = k/x, sendo k uma constante.
Gráfico de y inversamente proporcional a xExemplo de proporção inversaQuando se aumenta a velocidade, o tempo para concluir um percurso é menor. Da mesma forma, ao diminuir a velocidade mais tempo será necessário para fazer o mesmo trajeto.
Confira a seguir uma aplicação de relação entre essas grandezas.
João decidiu contar o tempo que levava indo de casa à escola de bicicleta com diferentes velocidades. Observe a sequência registrada.
| Tempo (min) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Velocidade (m/s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
Podemos fazer a seguinte relação com os números das sequências:
Escrevendo como igualdade de razões, temos:
Nesse exemplo, a sequência de tempo (2, 4, 5 e 1) é inversamente proporcional à velocidade média pedalando (30, 15, 12 e 60) e a constante de proporcionalidade (k) entre essas grandezas é 60.
Observe que quando um número de uma sequência dobra, o número da sequência correspondente reduz pela metade.
Classifique as grandezas relacionadas a seguir em diretamente ou inversamente proporcional.
a) Consumo de combustível e quilômetros percorridos por um veículo. b) Quantidade de tijolos e área de uma parede. c) Desconto dado em um produto e o valor final pago. d) Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher uma piscina.
Ver RespostaRespostas corretas:
a) Grandezas diretamente proporcionais. Quanto mais quilômetros um veículo percorrer, maior o consumo de combustível para realizar o percurso.
b) Grandezas diretamente proporcionais. Quanto maior a área de uma parede, maior o número de tijolos que farão parte dela.
c) Grandezas inversamente proporcionais. Quanto maior o desconto dado na compra de um produto, menor o valor que se pagará pela mercadoria.
d) Grandezas inversamente proporcionais. Se as torneiras possuem a mesma vazão, elas liberam a mesma quantidade de água. Portanto, quanto mais torneiras abertas, menor será o tempo para que a quantidade de água necessária para preencher a piscina seja liberada.
Pedro tem uma piscina em sua casa que mede 6 m de comprimento e comporta 30 000 litros de água. Seu irmão Antônio decide também construir uma piscina com a mesma largura e profundidade, mas com 8 m de comprimento. Quantos litros de água cabem na piscina de Antônio?
a) 10 000 L b) 20 000 L c) 30 000 L d) 40 000 L
Ver RespostaResposta correta: d) 40 000 L.
Agrupando as duas grandezas dadas no exemplo, temos:
| Grandezas | Pedro | Antônio |
| Comprimento da piscina (m) | 6 | 8 |
| Volume de água (L) | 30 000 | x |
De acordo com a propriedade fundamental das proporções, na relação entre as grandezas, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa.
Para resolver essa questão utilizamos o x como incógnita, ou seja, o quarto valor que deve ser calculado a partir dos três valores dados no enunciado.
Utilizando a propriedade fundamental das proporções, calculamos o produto dos meios e o produto dos extremos para encontrar o valor de x.
Observe que entre as grandezas há proporcionalidade direta: quanto maior o comprimento da piscina, maior a quantidade de água que ela comporta.
Veja também: Razão e Proporção
Em uma lanchonete, seu Alcides prepara suco de morango todos os dias. Em 10 minutos e utilizando 4 liquidificadores, a lanchonete consegue preparar os sucos que os clientes pedem. Para diminuir o tempo de preparo, seu Alcides dobrou o número de liquidificadores. Quanto tempo levou para que os sucos ficassem prontos com os 8 liquidificadores funcionando?
a) 2 min b) 3 min c) 4 min d) 5 min
Ver RespostaResposta correta: d) 5 min.
| Liquidificadores (número) | Tempo (minutos) |
| 4 | 10 |
| 8 | x |
Note que entre as grandezas da questão há proporcionalidade inversa: quanto mais liquidificadores estiverem preparando suco, menos tempo será necessário para que todos estejam prontos.
Sendo assim, para resolver esse problema a grandeza de tempo deve ser invertida.
Aplicamos então a propriedade fundamental da proporção e resolvemos a questão.
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