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Identidades trigonométricas

window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

As identidades trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas aplicadas a um mesmo arco. Também conhecidas como relações trigonométricas, são utilizadas para simplificar expressões e definir novas funções.

Para que uma igualdade que envolva funções trigonométricas seja uma identidade, esta deve ser verificada para todos os valores do domínio das funções.

Sendo f(x) e g(x) duas funções trigonométricas, expressamos sua identidade por:

Esta identidade só é válida se f(x) = g(x), para todo x que pertença ao domínio das duas funções.

A partir das razões elementares da trigonometria: seno e cosseno, que relacionam lados e ângulos de triângulo retângulo, definimos outras identidades ou, relações trigonométricas.

Em um ciclo trigonométrico de raio igual a 1 e um determinado ângulo x, crescente no sentido anti-horário, determinam-se as seguintes identidades trigonométricas nos domínios especificados a seguir.

Relação fundamental da trigonometria

Esta relação é válida para todo x que pertença aos números reais.

Tangente

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto quando cos x = 0.

Desta forma, a tangente não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, , onde k é um número inteiro.

Cotangente

A cotangente é o inverso da tangente, definida como:

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto nos valores em que sen x = 0. Por isso, a cotangente é inválida para qualquer múltiplo de .

Onde k é um número inteiro.

Secante

A secante é o inverso do cosseno.

Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto com cos x = 0.

Desta forma, a secante não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, , onde k é um número inteiro.

Cossecante

A cossecante é o inverso do seno.

Válida para todo x que pertença aos números reais exceto para sen x = 0.

A partir das identidades já mencionadas é possível obter novas, que por serem dedutíveis das relações fundamentais, também são conhecidas como colorários.

Outras identidades trigonométricas: os colorários

Através de um encadeamento algébrico, é possível determinar as igualdades:

1)

2)

3)

4)

5)

Exercícios de identidades trigonométricas resolvidos

Exercício 1

Demonstre que para .

Ver Resposta

Exercício 2

Prove que .

Ver Resposta

Aprenda mais sobre

• Trigonometria
• Círculo Trigonométrico
• Trigonometria no Triângulo Retângulo
• Relações Métricas no Triângulo Retângulo
• Relações Trigonométricas
• Seno, Cosseno e Tangente
• Razões Trigonométricas
• Tabela Trigonométrica
• Funções Trigonométricas

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Veja também

• Fórmulas de Matemática
• Trigonometria no Triângulo Retângulo
• Relações Trigonométricas
• Círculo Trigonométrico
• Funções Trigonométricas
• Lei dos Senos
• Exercícios de Trigonometria
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