Identidades trigonométricas

March 2022 0 3K Report
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    window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

    As identidades trigonométricas são igualdades que envolvem funções trigonométricas aplicadas a um mesmo arco. Também conhecidas como relações trigonométricas, são utilizadas para simplificar expressões e definir novas funções.

    Para que uma igualdade que envolva funções trigonométricas seja uma identidade, esta deve ser verificada para todos os valores do domínio das funções.

    Sendo f(x) e g(x) duas funções trigonométricas, expressamos sua identidade por:

    Esta identidade só é válida se f(x) = g(x), para todo x que pertença ao domínio das duas funções.

    A partir das razões elementares da trigonometria: seno e cosseno, que relacionam lados e ângulos de triângulo retângulo, definimos outras identidades ou, relações trigonométricas.

    Em um ciclo trigonométrico de raio igual a 1 e um determinado ângulo x, crescente no sentido anti-horário, determinam-se as seguintes identidades trigonométricas nos domínios especificados a seguir.

    Relação fundamental da trigonometria

    Esta relação é válida para todo x que pertença aos números reais.

    Tangente

    Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto quando cos x = 0.

    Desta forma, a tangente não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, , onde k é um número inteiro.

    Cotangente

    A cotangente é o inverso da tangente, definida como:

    Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto nos valores em que sen x = 0. Por isso, a cotangente é inválida para qualquer múltiplo de .

    Onde k é um número inteiro.

    Secante

    A secante é o inverso do cosseno.

    Válida para todo x que pertença aos números reais, exceto com cos x = 0.

    Desta forma, a secante não é definida para os ângulos de 90° + k.180° ou, em radianos, , onde k é um número inteiro.

    Cossecante

    A cossecante é o inverso do seno.

    Válida para todo x que pertença aos números reais exceto para sen x = 0.

    A partir das identidades já mencionadas é possível obter novas, que por serem dedutíveis das relações fundamentais, também são conhecidas como colorários.

    Outras identidades trigonométricas: os colorários

    Através de um encadeamento algébrico, é possível determinar as igualdades:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

    Exercícios de identidades trigonométricas resolvidos

    Exercício 1

    Demonstre que para .

    Ver Resposta

    Exercício 2

    Prove que .

    Ver Resposta

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