Movimento harmônico simples

Na Física, o movimento harmônico simples (MHS) é uma trajetória que ocorre na oscilação em torno de uma posição de equilíbrio.

Nesse tipo particular de movimento, existe uma força que direciona o corpo a um ponto de equilíbrio e sua intensidade é proporcional à distância alcançada quando o objeto se afasta do referencial.

Amplitude, período e frequência angular no MHS

Quando um movimento é realizado e alcança uma amplitude, gerando oscilações que se repetem por um período de tempo e que é expresso com uma frequência em unidades de tempo, temos um movimento harmônico ou movimento periódico.

A amplitude (A) corresponde a distância entre a posição de equilíbrio e a posição ocupada ao afastar o corpo.

O período (T) é o intervalo de tempo em que o evento de oscilação se complete. Ele é calculado através da fórmula:

Outra maneira de expressar o período, é relacionando-o com a frequência, que representa o número de oscilações realizadas por unidade de tempo.

A frequência angular ou velocidade angular é dada pela fórmula:

ou

Note que ela pode ser calculada relacionando-se com o período (T) ou com a frequência (f).

Força restauradora no MHS

O afastamento de um corpo da sua posição de equilíbrio faz com que uma força aja sobre ele para que retorne a sua posição.

A força que atua no movimento harmônico simples é de restauração, do tipo elástica. Por isso, a força restauradora no MHS é dada por:

Onde, K é uma constante e x é o deslocamento.

Por exemplo, se uma mola suspensa verticalmente encontra-se parada e na sua posição de equilíbrio, ela pode sofrer um deslocamento se a esticarmos ou comprimirmos. Portanto, a deformação sofrida é representada na fórmula por x.

Fórmulas do movimento harmônico simples

O movimento harmônico simples pode ser estudado através do movimento circular uniforme. Unindo-se os conceitos, é possível chegar as equações horárias a seguir.

Posição

A posição (x), em metros, é dada por:

• Amplitude do movimento (A), em metros.
• Frequência angular ou velocidade angular (), em radianos por segundo.
• Tempo (t), em segundos.
• Fase inicial do MHS (), em radianos.

Velocidade

A velocidade de uma partícula (v), em metros por segundo, é dada por:

• Velocidade angular (), em radianos por segundo.
• Amplitude (A), em metros.
• Tempo (t), em segundos.
• Fase inicial (), em radianos.

Aceleração

ou

A aceleração de uma partícula (A), em metros por segundo ao quadrado, depende de:

• Velocidade angular (), em radianos por segundo.
• Posição (x), em metros.

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Energia no movimento harmônico simples

A energia no movimento harmônico simples está associada com a energia cinética e energia potencial.

A energia cinética é referente à posição da partícula, sendo calculada por:

A energia potencial é referente à velocidade atingida pela partícula durante o movimento. Como é do tipo elástica, a energia é calculada por:

A soma das duas energias resulta na energia mecânica:

Vale lembrar que no movimento harmônico simples a energia cinética e potencial variam, pois dependem da posição e da velocidade. Entretanto, a energia mecânica é constante, supondo que não existem forças dissipativas no movimento harmônico simples.

Saiba mais sobre a Energia Mecânica.

Exemplo de MHS: pêndulo simples

O pêndulo simples é um sistema que realiza o movimento harmônico simples. Ele é composto por um fio inextensível e em sua extremidade está fixa uma partícula de dimensões desprezíveis, que se movimenta livremente.

A posição de equilíbrio de um pêndulo, ponto A na imagem acima, acontece quando o instrumento está parado, permanecendo em uma posição fixa.

Deslocar a massa presa na ponta do fio para determinada posição, na imagem representada por B e C, faz com que haja uma oscilação em torno do ponto de equilíbrio.

Fórmulas de período e frequência para o pêndulo

O movimento periódico realizado pelo pêndulo simples pode ser calculado através do período (T).

Onde,

T é o período, em segundos (s). L é o comprimento do fio, em metros (m). g é a aceleração da gravidade, em (m/s2).

Já a frequência do movimento pode ser calculada pelo inverso do período, e por isso, a fórmula é:

Saiba mais sobre o pêndulo simples.

Exercícios sobre movimento harmônico simples

Questão 1

Uma esfera de massa igual a 0,2 kg está presa a uma mola, cuja constante elástica k = . Afasta-se a mola 3 cm de onde estava em repouso e ao soltá-la o conjunto massa-mola começa a oscilar, executando um MHS. Desprezando as forças dissipativas, determine o período e a amplitude do movimento.

Resposta correta: T = 1s e A = 3 cm.

a) O período do movimento.

O período (T) depende apenas da massa, m = 0,2 kg, e da constante, k = .

b) A amplitude do movimento.

A amplitude do movimento é 3 cm, distância máxima alcançada pela esfera ao retirá-la da posição de equilíbrio. Portanto, o movimento realizado é de 3 cm para cada lado da posição inicial.

Questão 2

Em uma mola, cuja constante elástica é 65 N/m, está acoplado um bloco de massa 0,68 kg. Movendo o bloco da posição de equilíbrio, x = 0, até uma distância de 0,11 m e soltando-o do repouso em t = 0, determine a frequência angular e a aceleração máxima do bloco.

Resposta correta: = 9,78 rad/s e = 11 m/s2.

Os dados apresentados no enunciado são:

• m = 0,68 kg
• k = 65 N/m
• x = 0,11 m

A frequência angular é dada pela fórmula: e o período é calculado por , então:

Substituindo os valores da massa (m) e da constante elástica (k) na fórmula acima, calculamos a frequência angular do movimento.

A aceleração no MHS é calculada por enquanto que a posição possui a fórmula . Sendo assim, podemos modificar a fórmula da aceleração.

Observe que a aceleração é uma grandeza proporcional ao negativo do deslocamento. Portanto, quando a posição do móvel está em seu menor valor a aceleração apresenta seu maior valor e vice-versa. Por isso, a aceleração é máxima´é calculada por: .

Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos:

Sendo assim, os valores para o problema são: .

Questão 3

(Mack-SP) Uma partícula descreve um movimento harmônico simples segundo a equação , no SI. O módulo da máxima velocidade atingida por esta partícula é:

a) π 3 m/s. b) 0,2 . π m/s. c) 0,6 m/s. d) 0,1 . π m/s. e) 0,3 m/s.

Resposta correta: c) 0,6 m/s.

A equação apresentada no enunciado da questão é a equação horária da posição . Portanto, os dados apresentados são:

• Amplitude (A) = 0,3 m
• Frequência angular () = 2 rad/s
• Fase inicial () = rad

A velocidade no MHS é calculada por . Entretanto, quando a velocidade máxima é atingida e, por isso, a fórmula pode ser reescrita como .

Substituindo a frequência angular e amplitude na fórmula, podemos encontrar a velocidade máxima.

Sendo assim, o módulo da máxima velocidade atingida por esta partícula é 0,6 m/s.

Questão 4

Se a posição de uma partícula é determinada pela função horária , qual a velocidade escalar da partícula quando t = 1 s?

a) b) c) d) e) n.d.a

Resposta correta: b) .

Segundo a função horária temos os seguintes dados:

• Amplitude (A) = 2 m
• Frequência angular () = rad/s
• Fase inicial () = rad

Para calcular a velocidade utilizaremos a fórmula .

Primeiramente, vamos resolver o seno da fase do MHS: sen .

Observe que precisamos calcular o seno da soma e, portanto, utilizamos a fórmula:

Por isto, precisamos dos seguintes dados:

Agora, substituímos os valores e calculamos o resultado.

Colocando o resultado na função horária, calculamos a velocidade da seguinte forma:

Referências Bibliográficas

RAMALHO, NICOLAU e TOLEDO. Fundamentos da Física - Vol. 2. 7. ed. São Paulo: Editora Moderna, 1999.

MÁXIMO, A., ALVARENGA, B. Curso de Física - Vol. 2. 1. ed. São Paulo: Editora Scipione, 2006.

Veja também

• Exercícios sobre movimento circular uniforme
• Quantidade de Movimento
• Movimento Uniforme
• Movimento Circular
• Movimento Uniforme - Exercícios
• Movimento Uniformemente Variado
• Movimento Negro
• Juros Simples e Compostos