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Análise Combinatória e Probabilidade

Permutação

window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática

A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito. Fazer uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de combinatória, significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses.

Essas técnicas fazem parte de um campo da Matemática chamado, Análise Combinatória, que se destina a conhecer e contar os diferentes modos de organizar conjuntos e seus elementos. A permutação simples e a com elementos repetidos tratam desta categoria de problemas.

Permutação simples

Uma permutação simples é a ordenação dos elementos de um conjunto finito, quando seus elementos não se repetem, são distintos. É utilizada para determinar a quantidade dessas ordenações.

A quantidade de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! (lê-se n fatorial).

A fórmula para determinar a quantidade de permutações simples é

Considere um conjunto com n elementos. Para organizá-los em uma fila, precisamos escolher o primeiro e, para isso, temos n possibilidades. Para escolher o segundo, temos (n-1) possibilidades, uma menos, pois, já usamos uma opção ao escolher o primeiro. Esse processo continua até que só reste um elemento.

Ordens dos elementos e suas possibilidades.

Para determinar a quantidade total de permutações, multiplicamos a quantidade de possibilidades existentes na escolha de cada elemento. Dessa forma:

A expressão acima é chamada fatorial de n e usamos o símbolo n!.

Aprenda mais sobre fatorial aqui.

Exemplo:

Os diferentes modos de organizar as letras de uma palavra são chamados de anagramas. Quantos anagramas existem para a palavra PATO?

Essas são as possibilidades:

Ordem dos elementos e suas possibilidades.

Assim, como a palavra PATO possui 4 letras, temos que

Portanto, há 24 permutações simples para a palavra PATO.

Exercícios sobre Permutação Simples

Questão 1

Calcule o valor de .

Ver Resposta

Questão 2

Considere uma fila de pessoas organizadas por ordem de chegada em que, em um determinado momento, há seis pessoas. De quantas formas diferentes essas pessoas poderiam estar ordenadas do primeiro ao último lugar?

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Cada forma de ordenação é uma permutação simples, uma vez que os indivíduos são únicos e não se repetem. Dessa forma, havendo seis pessoas, a resposta é uma permutação com 6 elementos.

Questão 3

Considere a palavra GARFO e responda as seguintes questões?

a) Quantos são os anagramas da palavra GARFO?

Ver Resposta

Como as letras não se repetem esse é um caso de permutação simples de 5 elementos.

b) Quantos são os anagramas que começam com a letra A?

Ver Resposta

Nesse caso, fixamos a letra A no início e calculamos as permutações com as letras GRFO, que são permutações de 4 elementos.

1 possibilidade para a letra A x .

c) Quantos são os anagramas no caso das vogais estarem sempre uma ao lado da outra?

Ver Resposta

Uma possibilidade seria G R F A O.

Há três maneiras de ordenar as consoantes. P3 = 3 x 2 x 1 = 6

Há duas maneiras de ordenar as vogais. P2 = 2 x 1 = 2

Ainda há mais duas maneiras de organizar os grupos (consoantes e vogais) entre si. P2 = 2 x 1 = 2

Agora é só multiplicar os resultados.

P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24

Portanto, existem 24 anagramas no caso em que as vogais estão sempre juntas.

Permutação com repetição

Uma permutação com elementos repetidos acontece quando em um conjunto de n elementos, alguns destes são iguais.

Na fórmula para determinar o número de permutações com repetição, dividimos o fatorial do número total n de elementos, pelo produto entre os fatoriais dos elementos que se repetem.

é o número de permutações de n elementos.

são os números de elementos de cada tipo que se repetem.

é o fatorial do número total de elementos n.

Exemplos

Vamos determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para facilitar vamos colorir as letras. Vejamos os anagramas da palavra OVO.

O número de permutações simples com 3 elementos é dada por

No entanto, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas vezes. Para isso devemos dividir o valor de (pois a palavra possui três letras), por (pois a letra O se repete duas vezes).

Dessa forma, o número de permutações para as letras da palavra OVO é igual a 3.

Vejamos este outro exemplo em que definiremos o número de permutações para as letras da palavra BANANA.

Onde:

significa permutação com 6 elementos onde as letras A e N se repetem.

3! pois, a letra A se repete três vezes.

2! pois, a letra N se repete duas vezes.

Uma dica para facilitar o cálculo é desenvolver o 6! até chegar em 3!, fazendo a simplificação com o denominador. Veja o desenvolvimento.

Sendo assim, o número de permutações para as letras da palavra BANANA é igual a 60.

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Veja também

• Fatorial
• Probabilidade
• Análise Combinatória
• Polígonos
• Poliedro
• Progressão Aritmética (P.A.)
• Multiplicação e Divisão de Frações
• Equações irracionais