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Matemática

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Análise Combinatória e Probabilidade

Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes.

Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades.

Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades.

Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos.

Exemplo 1

João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico.

De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping?

Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações.

Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore.

Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12.

Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12.

Exemplo 2

Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?

Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S).

Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.

Exercícios resolvidos

Questão 1

Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato?

a) 12 combinações b) 32 combinações c) 24 combinações d) 16 combinações

Ver Resposta

Alternativa correta: c) 24 combinações.

Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato.

Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades.

Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de possibilidades.

Questão 2

Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido?

a) 25 b) 40 c) 24 d) 32

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis.

Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:

2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste.

Questão 3

De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5?

a) 200 b) 150 c) 250 d) 100

Ver Resposta

Alternativa correta: d) 100.

O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade.

Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5).

Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos.

Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos.

Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5.

Adquira mais conhecimento com os textos a seguir:

• Análise Combinatória
• Probabilidade
• Exercícios de Análise Combinatória
• Exercícios de Probabilidade

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Veja também

• Princípio de Pascal
• Análise Combinatória
• Exercícios de Análise Combinatória
• Matemática no Enem
• Contagem do Tempo na História
• Princípio de Le Chatelier
• Relações Trigonométricas
• Estatística