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Matemática

Proporção

window.sg_perf && performance.mark('img:visible'); Rafael Asth Professor de Matemática e Física

Proporção é uma igualdade entre razões. Duas razões são proporcionais quando o resultado da divisão entre o numerador e o denominador da primeira razão é igual ao resultado da divisão da segunda.

Onde a, b, c e d são números diferentes de zero e, nesta ordem, formam uma proporção.

Lemos uma proporção das seguintes maneiras:

• a está para b na mesma razão que c está para d;
• a está para b assim como c está para d;
• a e b são proporcionais a c e d.

Na proporção:

Exemplo

A igualdade é verdadeira, pois 4 / 2 = 2, assim como, 12 / 6 = 2.

Propriedades das proporções

As propriedades são ferramentas matemáticas que facilitam a resolução de problemas. Usando as propriedades das proporções, podemos criar outras proporções, mais úteis para resolvermos problemas.

Propriedade fundamental das proporções

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Sendo a seguinte igualdade entre razões, uma proporção,

Então, é verdade que:

É comum chamar esta propriedade de multiplicação cruzada. Esta propriedade é utilizada no procedimento chamado regra de três.

Exemplo

Outras propriedades

Algumas propriedades não recebem nomes especiais, embora sejam importantes nos cálculos.

Propriedade 1

A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.

Sendo verdadeira a proporção

Então vale que:

Na primeira razão, somamos ou subtraímos o denominador b, e, na segunda razão, somamos ou subtraímos o denominador d.

Exemplo

Então vale que:

Propriedade 2

A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou segunda razão.

Sendo verdadeira a proporção:

Então vale que:

Exemplo

Sendo verdadeira a proporção:

Então vale que:

Exercícios

Exercício 1

Um mapa apresenta a escala 1:3500 (1 para 3500) centímetros. Foi realizada uma medida no mapa de 8 centímetros. Esta medida no mapa representa quantos centímetros reais?

Ver Resposta

A escala pode ser escrita como a razão .

Nesta razão, o numerador representa os centímetros no mapa, enquanto o denominador, os centímetros reais.

Podemos, nesta ordem, escrever uma razão para o valor desconhecido.

Os centímetros medidos no mapa ficam no numerador, enquanto os centímetro reais, que pretendemos determinar, ficam no denominador.

Escrevendo uma proporção entre estas duas razões, temos:

Para determinar o valor desconhecido, utilizamos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos é igual o produto dos meios.

Portanto, 8cm no mapa, equivalem a 28 000cm reais.

Exercício 2

Catarina vai fazer um bolo para sua família e, para isso, separou uma receita que prescreve as seguintes quantidades:

4 ovos; 2 xícaras de açúcar; 300 gramas de farinha de trigo.

Como ela possui 7 ovos e gostaria de usá-los de uma vez, aumentando a quantidade de ovos na receita, é preciso aumentar proporcionalmente, as quantidades dos outros ingredientes. Sendo assim, em seu preparo, qual a quantidade dos outros ingredientes ela deverá utilizar?

Ver Resposta

Vamos determinar as novas quantidades proporcionais de cada ingrediente.

Açúcar

Na receita original, para cada 4 ovos, utilizam-se 2 xícaras de açúcar.

No novo preparo, Catarina irá utilizar 7 ovos e, embora ainda não sabemos a quantidade de xícaras de açúcar, por enquanto, iremos chamar de x.

Como estas razões precisam ser proporcionais, iremos igualá-las.

Para determinar o valor de x, utilizamos a propriedade fundamental das proporções, que diz que o produto dos extremos é igual o produto dos meios.

Isolando o x do lado esquerdo da igualdade:

Desta forma, Catarina irá utilizar três xícaras e meia de açúcar no novo preparo.

Seguindo o mesmo raciocínio para a quantidade de trigo, temos:

Sendo assim, Catarina deverá utilizar 525 gramas de farinha de trigo no novo preparo de seu bolo.

Aprenda mais com:

Razão e ProporçãoExercícios de razão e proporçãoProporcionalidadeGrandezas proporcionais

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Veja também

• Razão e Proporção
• Exercícios de razão e proporção
• Números Irracionais
• Exercícios de Porcentagem
• Medidas de Volume
• Questões de Matemática no Enem
• Exercícios de Regra de Três
• Ângulos Complementares