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Propriedades da potenciação

A potenciação corresponde à multiplicação de fatores iguais, que pode ser escrita de forma simplificada utilizando uma base e um expoente. A base é o fator que se repete e o expoente é o número de repetições.

Para resolver problemas com potências é necessário conhecer as suas propriedades. Veja a seguir as principais propriedades utilizadas em operações com potências.

1. Multiplicação de potências de mesma base

No produto de potências de mesma base devemos conservar a base e somar os expoentes.

am . an = am + n

Exemplo: 22 . 23 = 22+3 = 25 = 32

2. Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base conservamos a base e subtraímos os expoentes.

am : an = am – n

Exemplo: 24 : 22 = 24-2 = 22 = 4

3. Potência de potência

Quando a base de uma potência também é uma potência devemos multiplicar os expoentes.

(am)n = am.n

Exemplo: (32)5 = 32.5 = 310 = 59 049

4. Potência de produto

Quando a base de uma potência é um produto elevamos cada fator à potência.

(a . b)m = am . bm

Exemplo: (2 . 3)2 = 22 . 32 = 4 . 9 = 36

5. Potência de quociente

Quando a base de uma potência é uma divisão elevamos cada fator ao expoente.

(a/b)m = am/bn

Exemplo: (2/3)2 = 22/32 = 4/9

6. Potência de quociente e expoente negativo

Quando a base de uma potência é uma divisão e o expoente é negativo inverte-se a base e o sinal do expoente.

(a/b)-n = (b/a)n

Exemplo: (2/3)-2 = (3/2)2 = 32/22 = 9/4

7. Potência de expoente negativo

Quando o sinal de uma potência for negativo devemos inverter a base para tornar o expoente positivo.

a–n = 1/an, a ≠ 0

Exemplo: (2)-4 = (1/2)4 = 1/16

8. Potência com expoente racional

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Portanto, podemos transformar um expoente fracionário em um radical.

am/n = n√am

Exemplo: 51/2 = √5

9. Potência com expoente igual a 0

Quando uma potência apresenta expoente igual a 0, o resultado será 1.

a0 = 1

Exemplo: 40 = 1

10. Potência com expoente igual a 1

Quando uma potência apresenta expoente igual a 1, o resultado será a própria base.

a1 = a

Exemplo: 51 = 5

11. Potência de base negativa e expoente ímpar

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número ímpar, então, o resultado é um número negativo.

Exemplo: (- 2)3 = (- 2) x (- 2) x (- 2) = - 8

12. Potência de base negativa e expoente par

Se uma potência tem base negativa e o expoente é um número par, então, o resultado é um número positivo.

Exemplo: (- 3)2 = (- 3) x (- 3) = + 9

Leia mais sobre a Potenciação.

Exercícios sobre propriedades da potenciação

Questão 1

Sabendo que o valor de 45 é 1024, qual o resultado de 46?

a) 2 988 b) 4 096 c) 3 184 d) 4 386

Ver Resposta

Resposta correta: b) 4 096.

Observe que 45 e 46 possuem as mesmas bases. Portanto, a potência 46 pode ser reescrita como um produto de potências de mesma base.

46 = 45 . 41

Como sabemos o valor de 45 basta substituí-lo na expressão e multiplicar por 4, pois potência com expoente 1 tem como resultado a própria base.

46 = 45 . 41 = 1024 . 4 = 4 096.

Questão 2

Com base nas propriedades da potenciação, qual das sentenças abaixo está correta?

a) (x . y)2 = x2 . y2 b) (x + y)2 = x2 + y2 c) (x - y)2 = x2 – y2 d) (x + y)0 = 0

Ver Resposta

Resposta correta: a) (x . y)2 = x2 . y2.

a) Neste caso temos a potência de um produto e, por isso, os fatores são elevados ao expoente.

b) O correto seria (x + y)2 = x2 + 2xy + y2.

c) O correto seria (x - y)2 = x2 - 2xy + y2.

d) O resultado correto seria 1, pois toda potência elevada ao expoente zero tem como resultado 1.

Questão 3

Aplique as propriedades das potências para efetuar a simplificação da expressão a seguir.

(25 . 2-4) : 23

Ver Resposta

Resposta correta: 1/4.

Iniciamos a resolução da alternativa pelo que está dentro dos parênteses.

25 . 2-4 é a multiplicação de potências de bases iguais e, por isso, repetimos a base e somamos os expoentes.

25 + (-4) = 21

(25 . 2-4) : 23 = 21 : 23

Agora, a expressão se transformou em uma divisão de potências de mesma base. Por isso, vamos repetir a base e subtrair os expoentes.

21 : 23 = 21-3 = 2-2

Como o resultado é uma potência de expoente negativo, devemos inverter a base e o sinal do expoente.

2-2 = (1/2)2

Quando a potência tem como base um quociente podemos elevar cada termo ao expoente.

12/22 = 1/4

Portanto, (25 . 2-4) : 23 = 1/4.

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