Regra de Cramer

A regra de Cramer é uma estratégia para resolução de sistemas de equações lineares utilizando o cálculo dos determinantes.

Esta técnica foi criada pelo matemático suíço Gabriel Cramer (1704-1752) por volta do século XVIII com o intuito de solucionar sistemas com um número arbitrário de incógnitas.

Regra de Cramer: aprenda passo a passo

Pelo teorema de Cramer, se um sistema linear apresenta o número de equações igual ao número de incógnitas e determinante diferente de zero, então as incógnitas são calculadas por:

Os valores de Dx, Dy e Dz são encontrados substituindo a coluna de interesse pelos termos independentes da matriz.

Uma das maneiras de calcular o determinante de uma matriz é utilizando a regra de Sarrus:

Para aplicar a regra de Cramer o determinante deve ser diferente de zero e, desta forma, apresentar uma solução única. Caso seja igual a zero, temos um sistema indeterminado ou impossível.

Portanto, de acordo com a resposta obtida no cálculo do determinante, um sistema linear pode ser classificado em:

• Determinado, pois possui uma solução única;
• Indeterminado, pois possui infinitas soluções;
• Impossível, pois não apresenta soluções.

Exercício resolvido: método de Cramer para sistema 2x2

Observe o sistema a seguir com duas equações e duas incógnitas.

1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes.

2º passo: calcular Dx substituindo os coeficientes da primeira coluna pelos termos independentes.

3º passo: calcular Dy substituindo os coeficientes da segunda coluna pelos termos independentes.

4º passo: calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.

Portanto, x = 2 e y = - 3.

Confira um resumo completo sobre Matrizes.

Exercício resolvido: método de Cramer para sistema 3x3

O sistema a seguir apresenta três equações e três incógnitas.

1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes.

Para isto, primeiramente, escrevemos os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

Agora, multiplicamos os elementos das diagonais principais e somamos os resultados.

Seguimos multiplicando os elementos das diagonais secundárias e invertemos o sinal do resultado.

Posteriormente, juntamos os termos e resolvemos as operações de adição e subtração para obter o determinante.

2º passo: substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz e calcular Dx.

Calculamos Dx da mesma maneira que encontramos o determinante da matriz.

3º passo: substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz e calcular Dy.

4º passo: substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz e calcular Dz.

5º passo: aplicar a regra de Cramer e calcular o valor das incógnitas.

Portanto, x = 1; y = 2 e z = 3.

Saiba mais sobre a Regra de Sarrus.

Exercício resolvido: método de Cramer para sistema 4x4

O sistema a seguir apresenta quatro equações e quatro incógnitas: x, y, z e w.

A matriz dos coeficientes do sistema é:

Como a ordem da matriz é superior a 3, utilizaremos o Teorema de Laplace para encontrar o determinante da matriz.

Primeiramente, selecionamos uma linha ou coluna da matriz e somamos os produtos dos números da fileira pelos respectivos cofatores.

Um cofator é calculado da seguinte forma:

Aij= (-1) i + j. Dij

Onde

Aij: cofator de um elemento aij; i: linha onde se localiza o elemento; j: coluna onde se localiza o elemento; Dij: determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.

Para facilitar os cálculos escolheremos a primeira coluna, pois tem maior quantidade de zeros.

O determinante é encontrado da seguinte forma:

1º passo: calcular o cofator A21.

Para encontrar o valor de A21, precisamos calcular o determinante da matriz resultante da eliminação da linha 2 e da coluna 1.

Com isto, obtemos uma matriz 3x3 e podemos utilizar a regra de Sarrus.

2º passo: calcular o determinante da matriz.

Agora, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

3º passo: substituir os termos independentes na segunda coluna da matriz e calcular Dy.

4º passo: substituir os termos independentes na terceira coluna da matriz e calcular Dz.

5º passo: substituir os termos independentes na quarta coluna da matriz e calcular Dw.

6º passo: calcular pelo método de Cramer o valor das incógnitas y, z e w.

7º passo: calcular o valor da incógnita x substituindo na equação as demais incógnitas calculadas.

Portanto, os valores das incógnitas no sistema 4x4 são: x = 1,5; y = - 1; z = - 1,5 e w = 2,5.

Saiba mais sobre o Teorema de Laplace.

Veja também

• Regra de três composta
• Regra de Sarrus
• Exercícios de Regra de Três
• Regra de Três Simples e Composta
• Exercícios sobre regra de três composta
• Regra do Octeto
• Teorema de Tales
• Dízima Periódica