Regra de três composta

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    Regra de três composta é um processo matemático utilizado na resolução de questões que envolvem a proporcionalidade direta ou inversa com mais de duas grandezas.

    Como fazer a regra de três composta: passo a passo

    Para resolver uma questão com regra de três composta, você precisa basicamente seguir esses passos:

    • Verificar quais são as grandezas envolvidas;
    • Determinar qual o tipo de relação entre elas (direta ou inversa);
    • Efetuar os cálculos utilizando os dados disponibilizados.

    Confira a seguir alguns exemplos que te ajudarão a entender como isso deve ser feito.

    Regra de três composta com três grandezas

    Se para alimentar uma família com 9 pessoas por 25 dias são necessários 5 kg de arroz, quantos kg seriam necessários para alimentar 15 pessoas durante 45 dias?

    1º passo: Agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.

    Pessoas Dias Arroz (kg)
    A B C
    9 25 5
    15 45 X

    2º passo: Interpretar se a proporção entre as grandezas é direta ou inversa.

    Analisando os dados da questão, vemos que:

    • A e C são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais pessoas, maior será a quantidade de arroz necessária para alimentá-los.
    • B e C são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais dias passarem, mais arroz será necessário para alimentar as pessoas.

    Podemos também representar essa relação através de setas. Por convenção, inserimos a seta para baixo na razão que contém a incógnita X. Como a proporcionalidade é direta entre C e as grandezas A e B, então a seta de cada grandeza tem o mesmo sentido da seta em C.

    3º passo: Igualar a grandeza C ao produto das grandezas A e B.

    Como todas as grandezas são diretamente proporcionais à C, então a multiplicação de suas razões correspondem à razão da grandeza que se tem a incógnita X.

    Logo, 15 kg de arroz são necessários para alimentar 15 pessoas por 45 dias.

    Veja também: Razão e proporção

    Regra de três composta com quatro grandezas

    Numa gráfica existem 3 impressoras que trabalham 4 dias, 5 horas diárias, e produzem 300 000 impressões. Se uma máquina precisar ser retirada para manutenção e as duas máquinas restantes trabalharem por 5 dias, fazendo 6 horas diárias, quantas impressões serão produzidas?

    1º passo: Agrupar os valores e organizar os dados do enunciado.

    Impressoras Dias Horas Produção
    A B C D
    3 4 5 300 000
    2 5 6 X

    2º passo: Interpretar qual o tipo de proporcionalidade entre as grandezas.

    Devemos relacionar a grandeza que contém a incógnita com as demais grandezas. Ao observar os dados da questões, podemos perceber que:

    • A e D são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais impressoras trabalhando, maior a quantidade de impressões.
    • B e D são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhando, maior a quantidade de impressões.
    • C e D são grandezas diretamente proporcionais: quanto mais horas trabalhando, maior a quantidade de impressões.

    Podemos também representar essa relação através de setas. Por convenção, inserimos a seta para baixo na razão que contém a incógnita X. Como as grandezas A, B e C são diretamente proporcionais à D, então a seta de cada grandeza tem o mesmo sentido da seta em D.

    3º passo: Igualar a grandeza D ao produto das grandezas A, B e C.

    Como todas as grandezas são diretamente proporcionais à D, então a multiplicação de suas razões correspondem à razão da grandeza que se tem a incógnita X.

    Se duas máquinas trabalharem 5 horas por 6 dias o número de impressões não será afetado, continuarão produzindo 300 000.

    Veja também: Regra de Três Simples e Composta

    Exercícios resolvidos sobre regra de três composta

    Questão 1 (Unifor)

    Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

    Ver Resposta

    Resposta correta: 2 páginas.

    O primeiro passo para responder a questão é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

    Linhas Letras Páginas
    A B C
    45 80 6
    30 40 X
    • A e C são inversamente proporcionais: quanto menos linhas em uma página, maior o número de páginas para ocupar todo o texto.
    • B e C são inversamente proporcionais: quanto menos letras em uma página, maior o número de páginas para ocupar todo o texto.

    Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

    Para encontrar o valor de X devemos inverter as razões de A e B, já que essas grandezas são inversamente proporcionais,

    Considerando as novas condições, serão ocupadas 18 páginas.

    Questão 2 (Vunesp)

    Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será

    a) 29 b) 30 b) 33 d) 28 e) 31

    Ver Resposta

    Alternativa correta: b) 30

    O primeiro passo para responder a questão, é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

    Funcionários Horas Dias
    A B C
    10 8 27
    10 - 2 = 8 9 X
    • A e C são grandezas inversamente proporcionais: menos funcionários levarão mais dias para atender todas as pessoas.
    • B e C são grandezas inversamente proporcionais: mais horas trabalhadas por dia farão com que em menos dias todas as pessoas sejam atendidas.

    Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

    Como as grandezas A e B são inversamente proporcionais, para encontrar o valor de X, devemos inverter suas razões.

    Assim, em 30 dias serão atendidos o mesmo número de pessoas.

    Para mais questões, veja também Exercícios de Regra de Três.

    Questão 3 (Enem)

    Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

    A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a

    a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 9

    Ver Resposta

    Alternativa correta: c) 5

    O primeiro passo para responder a questão, é verificar a proporcionalidade entre as grandezas.

    Reservatório (m3) Escoamento (h) Ralos
    A B C
    900 m3 6 6
    500 m3 4 X
    • A e C são grandezas diretamente proporcionais: se a capacidade do reservatório é menor, menos ralos poderão realizar o escoamento.
    • B e C são grandezas inversamente proporcionais: sendo menor o tempo para escoamento, maior deverá ser a quantidade de ralos.

    Utilizando setas, a relação entre as grandezas é:

    Como a grandeza A é diretamente proporcional ,sua razão é mantida. Já a grandeza B tem sua razão invertida por ser inversamente proporcional à C.

    Assim, a quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a 5.

    Confira mais questões com resolução comentada em Exercícios sobre Regra de Três Composta.

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