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Variância e desvio padrão

Variância e desvio padrão são medidas de dispersão, ou seja, parâmetros utilizados na Estatística para calcular o quanto os dados de um conjunto de valores podem variar.

A variância (V) é útil para determinar o afastamento da média que os dados de um conjunto analisado apresentam. Para isso, determina-se o valor médio das diferenças quadradas da média.

O desvio padrão (DP) é calculado a partir da variância, pois é a raiz quadrada desse parâmetro.

Fórmulas de variância e desvio padrão

Para calcular a variância de todos os valores de um conjunto de dados utiliza-se a fórmula:

Onde,

: variância xi: valor analisado: média aritmética do conjunto n: número de dados do conjunto

Essa fórmula representa a variância populacional e para encontrá-la:

• Primeiramente, devemos calcular a média aritmética do conjunto;
• Em seguida, subtraímos de cada valor do conjunto a média calculada e elevamos o resultado ao quadrado;
• Por fim, somamos todos os valores e dividimos pelo número de dados.

Quando o conjunto de dados é muito grande e queremos utilizar uma amostra aleatória devemos empregar a fórmula de variância amostral:

Como o desvio padrão é expresso pela raiz quadrada da variância, basta que seja extraída a raiz do resultado calculado pela fórmula anterior.

Portanto, o desvio padrão é um dado que apresenta a mesma unidade do conjunto de números na amostra, o que é útil para a análise e comparação.

Saiba mais sobre as medidas de dispersão.

Como calcular a variância e o desvio padrão

Utilizaremos como exemplo a figura abaixo, que apresenta a altura de quatro construções (em metros), para calcular o desvio padrão e a variância.

1º passo: calcular a média aritmética dos valores.

Para calcular a média deve-se somar todas as alturas e dividir pelo número de dados apresentados.

Observe na imagem a seguir o quanto cada altura se distancia da média.

2º passo: calcular a variância

Agora, substituímos a média () e os valores do conjunto (Xn) na fórmula de variância.

3º passo: calcular o desvio padrão

Para encontrar o desvio padrão basta tirar a raiz quadrada do valor da variância.

Observe a imagem a seguir com a sinalização do desvio padrão. Podemos perceber que dois prédios estão próximos de um “padrão” enquanto dois estão acima e abaixo, respectivamente.

Saiba mais sobre desvio padrão.

Exercícios resolvidos sobre variância e desvio padrão

Questão 1

Calcule o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:

a) 148 – 170 – 155 – 131

Ver Resposta

Resposta correta: V = 196,5 e DP ≈ 14.

1º passo: calcular a média aritmética.

2º passo: calcular a variância

3º passo: calcular o desvio padrão

b) 86 – 92 – 91 – 95 – 90 – 89 – 94

Ver Resposta

Resposta correta: V = 8 e DP ≈ 2,83.

1º passo: calcular a média aritmética.

2º passo: calcular a variância

3º passo: calcular o desvio padrão

Questão 2

A eleição para conselheiro tutelar de uma cidade contava com dois candidatos. Observe na tabela a seguir a quantidade de votos válidos recebidos por cada um deles nas 5 urnas utilizadas para depositar os votos.

Candidato	Urna 1	Urna 2	Urna 3	Urna 4	Urna 5
A	17	18	21	13	20
B	22	12	19	23	11

Qual candidato obteve a melhor média de votos e o menor desvio padrão nas 5 urnas?

a) Candidato A b) Candidato B c) Os dois candidatos

Ver Resposta

Alternativa correta: a) Candidato A.

Candidato A:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão

Candidato B:

Média aritmética:

Variância:

Desvio padrão:

Questão 3

Três alunos estavam treinando para uma corrida que aconteceria nos jogos escolares e o treinador anotava a distância alcançada por cada um deles ao realizar 5 voltas individualmente em um tempo fixo. Confira o resultado na tabela a seguir.

Aluno	Volta 1	Volta 2	Volta 3	Volta 4	Volta 5
João	210 m	198 m	215 m	210 m	196 m
Carlos	189 m	190 m	203 m	197 m	192 m
Pedro	204 m	201 m	199 m	188 m	193 m

Qual dos alunos obteve o resultado mais regular?

a) João b) Carlos c) Pedro d) Os três tiveram o mesmo resultado.

Ver Resposta

Alternativa correta: b) Carlos, pois apresentou o menor desvio padrão.

1º passo: calcular a média aritmética de cada atleta.

Para isso, somamos as distâncias percorridas e dividimos pelo número de voltas.

2º passo: Calcular a variância do desempenho de cada atleta.

João

Carlos

Pedro

3º passo: Calcular o desvio padrão

João

Carlos

Pedro

Questão 4

Durante o ano de 2020 foi realizado pelo Procon um levantamento de preços de dois itens da cesta básica nos 5 supermercados existentes uma pequena cidade. O resultado está apresentado na tabela abaixo (em R$) para alimentos da mesma marca.

Arroz (1 kg)	6,90	8,90	7,78	8,83	6,48	9,04
Feijão (1 kg)	8,20	7,90	9,05	8,40	7,59	10,99

a) Qual é a média, a variância e o desvio padrão dos preços de cada alimento?

Ver Resposta

Respostas corretas:

Arroz: M = 7,99; V = 1,025; DP = 1,012 Feijão: M = 8,69; V = 1,26; DP = 1,12

Arroz

Média aritmética:

Variância

V = (6,90 - 7,99)2 + (8,90 - 7,99)2 + (7,78 - 7,99)2 + (8,83 - 7,99)2 + (6,48 - 7,99)2 + (9,04 - 7,99)2 / 6

V = (-1,09)2 + (0,91)2 + (-0,21)2 + (0,84)2 + (-1,51)2 + (1,05)2 / 6

V = 1,1881 + 0,8281 + 0,0441 + 0,7056 + 2,2801 + 1,1025/ 6

V = 6,1485 / 6

V = 1,025

Desvio padrão

Feijão

Média aritmética

Variância

V = (8,20 - 8,69)2 + (7,90 - 8,69)2 + (9,05 - 8,69)2 + (8,40 - 8,69)2 + (7,59 - 8,69)2 + (10,99 - 8,69)2 / 6

V = (-0,49)2 + (0,79)2 + (0,36)2 + (-0,29)2 + (-1,1)2 + (2,3)2 / 6

V = 0,2401 + 0,6241 + 0,1296 + 0,0841 + 1,21 + 5,29 / 6

V = 7,5779 / 6

V = 1,26

Desvio padrão

b) Qual alimento apresenta os preços mais homogêneos?

Ver Resposta

Resposta correta: O arroz, pois tem o menor desvio padrão.

Complemente seus estudos com os conteúdos:

• Estatística
• Média Aritmética
• Média, Moda e Mediana
• Exercícios sobre Estatística

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Veja também

• Desvio Padrão
• Fórmulas de Matemática
• Medidas de Dispersão
• Média, Moda e Mediana
• Estatística
• Média Aritmética
• Divisores
• Função Polinomial