Após um prévio conhecimento sobre as definições de proposições (conectivos lógicos, tabela verdade, negação de uma proposição simples) podemos iniciar o estudo sobre “negação de proposições compostas”, mas antes iremos definir o que é equivalência lógica.
Equivalência lógica
São proposições que apresentam a mesma tabela verdade, ou seja, são proposições que expressas de um modo diferente possuem o mesmo valor lógico.
Ex:
Se Brasília é a Capital do Brasil então Santiago é a Capital do Chile (p → q)
Se Santiago não é a capital do Chile então Brasília não é a Capital do Brasil.(¬q → ¬p)
Vejamos as tabelas verdade de ambas às proposições compostas:
Condicional: p → q
| P | Q | P → Q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Condicional: ¬q → ¬p
| ¬Q | ¬P | ¬Q → ¬P |
| F | F | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| V | V | V |
Podemos verificar que as duas proposições possuem a mesma tabela verdade (valoração), portanto são equivalentes.
P → Q <=> ¬Q → ¬P (Representação da “equivalência lógica”)
Agora passemos para negação das proposições compostas
Negação da operação da Conjunção. “p e q”
¬(P ^ Q ) <=> ¬P v ¬Q
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “e” pelo conectivo”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;
Ex:“Pedro é Mineiro e João é Capixaba”.
- P= Pedro é Mineiro
- Q= João é Capixaba
Negando-a ,temos;
Pedro não é mineiro ou João não é capixaba.
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.
| P | Q | P ^ Q | ¬(P ^ Q) | ¬P | ¬Q | ¬P v ¬Q |
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | F | V | F | V | V |
| F | V | F | V | V | F | V |
| F | F | F | V | V | V | V |
Negação da operação da Disjunção Inclusiva. “p ou q”
P v Q <=> ¬P ^ ¬Q (Lei de Morgan)
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU” , basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;
“Augusto é feio ou Maria é Bonita”.
- P= Augusto é feio
- Q= Maria é bonita
Negando-a, temos;
“Augusto não é feio e Maria não é bonita” .
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.
| P | Q | P v Q | ¬(P v Q) | ¬P | ¬Q | ¬P ^ ¬Q |
| V | V | V | F | F | F | F |
| V | F | V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V | F | F |
| F | F | F | V | V | V | V |
Negação da operação da Disjunção Exclusiva. “ou p ou q”
¬(P v Q) <=> P ↔ Q
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva , transformá-la-emos em uma estrutura bicondicional. Vejamos;
“Ou João é rico ou Pedro é Bonito”.
- P= João é rico
- Q= Pedro é Bonito
Negando-a temos;
“João é rico se e somente se Pedro é bonito”
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição
| P | Q | P v Q | ¬(P v Q) | P ↔ Q |
| V | V | F | V | V |
| V | F | V | F | F |
| F | V | V | F | F |
| F | F | F | V | V |
Obviamente podemos perceber que a negação de uma estrutura bicondicional é também a disjunção exclusiva
Negação da operação da condicional (ou implicação).
¬ (p → q) <=> p^ ¬q
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte.Vejamos
Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.
- P= Sou inteligente
- Q= Passarei de ano
Negando-a, temos;
“Sou inteligente e não passarei de ano”
Pela tabela verdade podemos” confirmar” a negação da proposição.
| P | Q | P → Q | ¬(P → Q) | ¬Q | P ^ ¬Q |
| V | V | V | F | F | F |
| V | F | F | V | V | V |
| F | V | V | F | F | F |
| F | F | V | F | V | F |