A argumentação proposta por D’Alembert constitui basicamente de uma mudança imaginária nas coordenadas espaciais das partículas de um sistema no tempo. São propostos deslocamentos virtuais, de modo que o sistema possa ser descrito através de um novo instrumento matemático gerado a partir do tratamento destes pressupostos.
Consideremos um sistema em equilíbrio: a força resultante, atuante na partícula s é nula. Desta forma, podemos escrever:
Fs = 0 (s = 1,2... N) (1.a)
Então, com base no princípio descrito acima, podemos escrever:
Fs.δrs = 0 (2.a)
Para as N partícula, teremos:
ΣsFs.δrs = 0 (3.a)
Tais argumentos são facilmente aceitáveis do ponto de vista das condições de equilíbrio. Mas se as forças Fs são contínuas da posição, então a última expressão pode ser reescrita como:
δW = 0 (4.a)
Que constitui basicamente o enunciado do princípio do trabalho virtual:
“é nulo o trabalho realizado ao longo de um deslocamento virtual infinitesimal arbitrário de um sistema, a partir de uma posição de equilíbrio.” (LEECH, J. W., p.12.)
Se houver alguma restrição ao movimento livre do sistema, as forças podem serem classificadas como forças aplicadas Fs(a) e como forças de vínculo ou forças de ligação Fs(v) e desta forma, teremos:
Fs = Fs(v) + Fs(a) (5.a)
Aplicamos o somatório em todas as partículas que constituem o sistema:
ΣsFs(v).δrs + ΣFs(a).δrs = 0 (3.b)
Introduzimos um postulado que nos permite reinterpretar a última equação:
Fs(v).δrs ≥ 0 (6.a)
O resultado da combinação de (3.b) e (6.a) nos dá:
ΣFs(a).δrs ≤ 0 (7.a)
Neste caso apenas as forças aplicadas são envolvidas na interpretação do sistema. Estas forças são supostamente funções ininterruptas no espaço. Desta forma, podemos escrever o elemento de trabalho δW como sendo restrito às possibilidades oferecidas pelo sistema. Então, obtemos:
δW ≡ ΣFs(a).δrs ≤ 0 (7.b)
É necessário considerar apenas os deslocamentos δ’ geometricamente reversíveis. Estas limitações nos dão:
ΣFs(a).δ’rs ≤ 0
No sentido oposto:
ΣFs(a).( –δ’rs) ≤ 0
Desta forma, teremos uma equação que generaliza o princípio do trabalho virtual, que assume a forma;
ΣFs(a).δ’rs = 0 (7.c)
Que é enunciado:
“É nulo o trabalho realizado no decorrer de um deslocamento virtual reversível infinitesimal, compatível com as ligações, de um sistema, a partir de uma posição de equilíbrio.” (LEECH, J. W., p.13.)
Podemos escrever equações que contenham o mesmo número para os graus de liberdade e coordenadas. Estas são as coordenadas generalizadas qi, e cada deslocamento virtual δ’rs realizado em uma dessas direções pode ser feito de maneira independente. Logo, a equação (7.c) se reduz a:
ΣQi(a)δ’qi = 0 (7.d)
Até aqui, foram considerados apenas sistemas em equilíbrio estático. Mas podemos abranger os sistemas em movimento, inserindo as equações do movimento:
Fs = d(ms.vs)/dt (8.a)
Isto é,
Fs – d(ms.vs)/dt = 0 (8.b)
Baseado no que foi escrito anteriormente, temos, para um deslocamento virtual arbitrário:
Σs(Fs – d(ms.vs)/dt).δrs = 0 (8.c)
Teremos presença de forças de ligação e de forças aplicadas. Então, reescrevemos a equação anterior em função de tais forças:
ΣsFs(c).δrs + Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δrs = 0
Apenas para os deslocamentos aceitáveis para as respectivas ligações, podemos aferir:
Fs(c).δrs ≥ 0
E daí, vem:
Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δrs ≤ 0
Restringindo aos deslocamentos virtuais reversíveis, teremos:
Σs(Fs(a) – d(ms.vs)/dt) .δ’rs = 0
Para tornar cada deslocamento virtual independente um do outro, é necessário transformar as coordenadas do sistema para um sistema de coordenadas generalizadas conveniente. As forças aplicadas Fs(a) são responsáveis pela realização do trabalho, ao longo do respectivo deslocamento virtual. O termo – d(ms.vs)/dt é constituído pelas forças de inércia, que podemos representar de maneira simplificada por Is.
Resumidamente, a última equação assume a forma:
Σs(Fs(a) + Is) .δ’rs = 0
O resultado da soma entre parênteses nos dá a força efetiva. Desta forma, chegamos à expressão conhecida como princípio de D’Alembert:
“o trabalho total realizado pelas fôrças efetivas é nulo em um deslocamento infinitesimal reversível, compatível com as ligações de qualquer sistema dinâmico.” (LEECH, J. W., p.15)
Referências bibliográficas: LEECH, J. W., BSc. PhD. Mecânica Analítica. Traduzido por OLIVEIRA, Carlos Campos de. Ed. Ao livro técnico S. A. e Editora da Universidade de São Paulo. Rio de Janeiro, 1971. 160p.