Quando estudamos física, grandeza é o conceito mais básico que aprendemos, e que usamos para descrever fenômenos. No Sistema Internacional de Medidas (SI), as grandezas fundamentais, e suas respectivas unidades são: comprimento (metro – m), tempo (segundos – s), massa (quilogramas – kg), temperatura (Kelvin – K) e corrente elétrica (Ampère – A). Todas as outras grandezas e suas unidades resultam delas.
A análise dimensional é uma ferramenta que usamos para prever como uma grandeza física irá se comportar, sem precisar resolver um problema ou uma conta. Essa é uma ferramenta extremamente importante, pois nos permite: simplificar problemas, desenvolver intuição física e detectar erros, sem necessitar resolução da conta.
Sua principal característica é a homogeneidade dimensional, que quer dizer que todos os termos de uma equação/fórmula devem ter a mesma dimensão, ou, em outras palavras, elas devem ter as mesmas unidades envolvidas para que possam ser comparadas.
Para realizar o procedimento de análise dimensional devemos:
- Ter uma equação/fórmula (igualdade), de onde partimos, escrevendo as unidades de cada grandeza nessa equação;
- Manipulamos essas unidades como se elas fossem números (dividindo, multiplicando, etc.), a fim de encontrar as unidades da grandeza que queremos (lado esquerdo da igualdade).
Observações:
- A notação para representar a unidade de uma grandeza é: [grandeza]. Ex. tempo, representamos unidade como [t]=[s].
- Unidades compostas podem ser representadas como frações ou de forma linear. Ex. velocidade, [v]=[m/s] ou [m].[s]-1.
Vejamos alguns exemplos de como realizar a análise dimensional.
Exemplos:
1) Determine a dimensão da grandeza física F, em F=m\cdot a, de acordo com o SI, sabendo que a é usado para designar a grandeza aceleração e m é usado para designar a grandeza massa.
Solução:
1) Vamos escrever as unidades de m e a no SI:
\left\lbrack F\right\rbrack =\left\lbrack m\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack a\right\rbrack =\left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack \frac{m}{{s}^{2}}\right\rbrack
2) Como não há muito o que manipular entre essas unidades, podemos apenas reescrevê-las para expressão a unidade da grandeza F:
\left\lbrack F\right\rbrack =\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }\text{ ou }\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack \mathrm{.}{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }^{-1}
2) Determine a dimensão da grandeza X, em X=\frac{F}{A}, de acordo com o SI, sabendo que F é usado para designar a grandeza força e que A é usado para designar a grandeza área (aqui uma área retangular de largura b e altura h).
Solução:
1) Para facilitar, vamos escrever as unidades de F e A, no SI, separadamente:
\begin{cases}\left\lbrack F\right\rbrack =\left\lbrack m\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack a\right\rbrack =\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }\\ \left\lbrack A\right\rbrack =\left\lbrack b\right\rbrack \left\lbrack h\right\rbrack =\left\lbrack m\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack m\right\rbrack =\left\lbrack {m}^{2}\right\rbrack \end{cases}
2) Vamos juntar isso na equação inicial e realizar algumas manipulações:
\left\lbrack X\right\rbrack =\frac{\left\lbrack F\right\rbrack }{\left\lbrack A\right\rbrack }=\frac{\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }}{\left\lbrack {m}^{2}\right\rbrack }=\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\mathrm{.}{m}^{2}\right\rbrack }=\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\mathrm{.}m\right\rbrack }\text{ ou }\left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack \mathrm{.}{\left\lbrack {s}^{2}\mathrm{.}m\right\rbrack }^{-1}
3) Determine qual deve ser a unidade da constante gravitacional G, na equação da Força gravitacional (F=\frac{GMm}{d^2}), onde, no SI, M e m são medida em quilogramas, d é medida em metros e F em Newton (1N=kg.m.s²).
Solução:
F=\frac{\mathit{GMm}}{{d}^{2}}\rightarrow G=\frac{F{d}^{2}}{\mathit{Mm}}\rightarrow
\left\lbrack G\right\rbrack =\frac{\left\lbrack F\right\rbrack \left\lbrack {d}^{2}\right\rbrack }{\left\lbrack M\right\rbrack \left\lbrack m\right\rbrack }\rightarrow \left\lbrack G\right\rbrack =\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}\frac{m}{{s}^{2}}\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack {m}^{2}\right\rbrack }{\left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack \left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack }\rightarrow
\left\lbrack G\right\rbrack =\frac{\left\lbrack \mathit{kg}\mathrm{.}m\right\rbrack \mathrm{.}\left\lbrack {m}^{2}\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack \left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack \left\lbrack \mathit{kg}\right\rbrack }\rightarrow \left\lbrack G\right\rbrack =\frac{\left\lbrack {m}^{3}\right\rbrack }{\lbrack kg\rbrack\cdot\lbrack s^2\rbrack}\text{ ou }
\lbrack G\rbrack=\lbrack m^3\rbrack\cdot\lbrack kg\rbrack^{-1}\cdot\lbrack s\rbrack^{-2}
Mas análise dimensional não é usada apenas para determinar as unidades finais de uma grandeza, ela também pode ser utilizada quanto realizamos a conversão de unidades. Vejamos com um exemplo como fazer isso.
Exemplo
1) Escreva em m/s².
Solução:
Primeiro vamos lembrar que:
- 1 km = 1000m, ou seja, 1 [km] = 1000 [m]
- 1 h = 3600s, ou seja, 1 [h] = 3600 [s] → 1 [h2] = 12.960.000 [s2]
Agora basta alterarmos essa conversão nas unidades e manipular os valores numéricos, quando possível.
a=35\frac{\mathit{km}}{h\mathrm{{^2}}}=35.\frac{\left\lbrack \mathit{km}\right\rbrack }{\left\lbrack {h}^{2}\right\rbrack }=35.\frac{1000\left\lbrack m\right\rbrack }{12960000\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }=
\frac{35.1000}{12960000}\frac{\left\lbrack m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }={\mathrm{2,7.10}}^{-3}\frac{\left\lbrack m\right\rbrack }{\left\lbrack {s}^{2}\right\rbrack }
Referência:
TRANCANELLI, Diego. Grandezas físicas e análise dimensional: da mecânica à gravidade quântica. Revista Brasileira do Ensino Física. 38 (2). Junho, 2016. Disponível em:
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/fisica/analise-dimensional/