Quando trabalhamos com matriz algumas vezes escrever elas como um produto entre duas matrizes conhecidas, ou mais simples, facilita nossos cálculos. A esse processo damos o nome de decomposição de matrizes. Existem várias técnicas de decomposição de matrizes, aqui vamos ver a chamada de decomposição LU.
Teorema da decomposição LU
A decomposição LU é uma técnica interessante utilizada para resolver sistemas lineares e para diminuir o número de cálculos em algumas operações, por exemplo, quando calculamos a matriz inversa.
Uma matriz é chamada de matriz triangular superior (U) se qualquer entrada abaixo da diagonal principal for zero. Por exemplo:
Já uma matriz é chamada de matriz triangular inferior (L) se qualquer entrada acima da diagonal for zero e as entradas da diagonal principal forem sempre 1. Por exemplo:
Agora, podemos definir formalmente o que é a decomposição LU.
Definição: Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n. Então existe uma única matriz triangular inferior L = (lij), com l11 = l22 =... = lnn = 1, e uma única matriz triangular superior U = (uij), tal que L.U = A..
De maneira resumida, queremos escrever a matriz A como uma multiplicação de outras matrizes (L e U), de forma que A = L. U. Para entender como fazer isso vejamos um exemplo.
Exemplo:
Resolva o seguinte sistema linear:
1) Escrevemos o sistema linear na forma matricial:
onde vamos denominar
2) Encontramos a matriz U (usando, por exemplo, o método de eliminação de Gauss):
- Lembrando que para usar a eliminação de Gauss: i) Copiamos a primeira linha, ii) achamos o pivô, iii) encontramos o multiplicador, iv) zeramos o primeiro elemento e v) repetimos o procedimento até zerar os outros termos abaixo da diagonal principal, obtendo:
3) Encontramos a matriz L:
- Lembrando que para encontrar a matriz L: i) escrevemos a diagonal principal toda igual a 1, ii) colocamos os elementos acima do triângulo serão 0 e iii) achamos os outros três elementos usando os multiplicadores encontrados no método de Gauss. Com isso obtemos:
4) Resolvemos o novo sistema encontrado:
- Colocando na notação para matriz, o que temos é:
- Resolvendo o sistema L.Y=B:
- Resolvendo o sistema Y=U.X:
Observação:
- Nesse exemplo, aparentemente fizemos a mesma coisa que faríamos se resolvêssemos o sistema direto, porém, em exercícios mais complexos esse método acaba tornando os cálculos mais simples.
- Como a intenção desse método é decompor a matriz principal em matrizes com entradas iguais a zero, ao resolvermos esses sistemas acabamos caindo em problemas mais simples de resolver.
Referência:
COSTA, Alysson M. Sistemas lineares e Decomposição LU. Disciplina de Cálculo Numérico e Métodos Numéricos do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC), Universidade de São Paulo (USP). Disponível em:
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/teorema-da-decomposicao-lu/