Uma equação trigonométrica é aquela onde a incógnita aparece na forma da medida de arcos ou nos ângulos de uma função trigonométrica. São exemplos de equações trigonométricas: \mathit{sen}\left(x\right)=\mathit{sen}\left(30\circ \right), \cos \left(x\right)=\frac{1}{4} e \mathit{tg}\left(x\right)=\sqrt{3}.
Vejamos as principais formas das equações trigonométricas e algumas formas de resolvê-las, através de exemplos.
Conteúdo deste artigo
- Equações da forma sen(x) = a, cos(x) = a e tg(x) = a
- Equações da forma sen(x) = sen(a), cos(x) = cos(a) e tg(x) = tg(a)
- Exercícios
Equações da forma sen(x) = a, cos(x) = a e tg(x) = a
Para resolver esse tipo de equação precisamos lembrar que temos duas opções possíveis: quando o problema nos fornece o intervalo e quando ele não oferece. No primeiro caso, apenas verificamos no intervalo fornecido no circulo trigonométrico quantos ângulos têm aquele seno, cosseno ou tangente. No segundo caso, precisamos apresentar a resposta de maneira geral, para n voltas no circulo trigonométrico.
Exemplo
1) Resolva a equação \mathit{sen}\left(3x\right)=1, para n voltas e para o intervalo 0\le x\le \pi .
Solução:
Começamos encontrando um ângulo conhecido que sabemos ter seno = 1, ou seja, \frac{\pi }{2}. Em seguida, igualamos a variável a esse ângulo:* Para o intervalo 0\le x\le \pi (ou para 1 volta no ciclo trigonométrico, nesse caso é o mesmo) no ciclo trigonométrico: 3x=\frac{\pi }{2}\leftrightarrow x=\frac{3\pi }{2}.* Para n voltas no ciclo trigonométrico: 3x=\frac{\pi }{2}+2\mathit{\pi n}\leftrightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\mathit{\pi n}}{3} para n\epsilon Z.
Logo temos: S=\left\lbrace x\in R\vee x=\frac{\pi }{6}+\frac{2\mathit{\pi n}}{3},\text{para }n\text{ }\epsilon\text{ }Z\right\rbrace .
Observação: Se tivéssemos dois ângulos onde isso é verdade, então a solução seria dada em função dos dois.
Equações da forma sen(x) = sen(a), cos(x) = cos(a) e tg(x) = tg(a)
Aqui a ideia é quase a mesma, porém agora vamos igualar diretamente a variável ao arco desejado.
Exemplo
1) Resolva a equação \cos \left(7x\right)=\cos \left(\frac{7\pi }{36}\right).
Solução:
Vamos iniciar descobrindo em qual quadrante o ângulo \frac{7\pi }{36} está. Para isso basta converter isso de radianos para graus, onde encontraremos \frac{7\pi }{36}=35\circ , ou seja, ele está no 1° quadrante.
Vamos lembrar que no 1° quadrante seno e cosseno são positivos, então não precisamos mudar nenhum sinal. Com isso temos que:* Para 1 volta no ciclo trigonométrico: 7x=\frac{7\pi }{36}\leftrightarrow x=\frac{\pi }{36}* Para n voltas no ciclo trigonométrico: 7x=\frac{7\pi }{36}+2\mathit{\pi n}\leftrightarrow x=\frac{\pi }{36}+\frac{2\mathit{\pi n}}{7},\text{para }n\text{ }\epsilon\text{ }Z.
Logo temos: S=\left\lbrace x\in R\vee x=\frac{\pi }{36}+\frac{2\mathit{\pi n}}{7},\text{para }n\text{ }\epsilon\text{ }Z\right\rbrace .
Podemos também ter expressões misturando os dois casos vistos acima.
Exercícios
1) (FATEC - adaptado) O conjunto solução da equação 2\mathit{co}{s}^{2}\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1=0, no universo U=\left\lbrack \mathrm{0,2}\pi \right\rbrack é?
Solução:
Fazendo a mudança de variável u=\cos \left(x\right), temos que:
2\mathit{co}{s}^{2}\left(x\right)+\cos \left(x\right)-1=0\leftrightarrow 2{u}^{2}+u-1=0\leftrightarrow u=\frac{-1\pm 3}{4}Logo, retornando a variável x, e levando em conta nosso universo (intervalo):* \cos \left(x\right)=\frac{-1-3}{4}=-1\leftrightarrow x=\pi \mathrm{.}* \cos \left(x\right)=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}\mathit{ou}x=\frac{5\pi }{3}\mathrm{.}
Assim, o conjunto solução será S=\left\lbrace \frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}\right\rbrace.
2) (UFRGS - adaptado) O número de soluções da equação 2\cos \left(x\right)=\mathit{sen}\left(x\right), no intervalo \left\lbrack \frac{-16\pi }{3},\frac{16\pi }{3}\right\rbrack é?
Solução:
Dividindo os dois lados da equação por cos(x) e manipulando algebricamente: 2\cos \left(x\right)=\mathit{sen}\left(x\right)\leftrightarrow \frac{2\cos \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}=\frac{\mathit{sen}\left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\leftrightarrow \mathit{tg}\left(x\right)=2.
Como tg(x) é positivo, temos x está no 1° ou 3° quadrantes, ou seja, temos duas soluções por volta. Mas, de 0 até \frac{16\pi }{3} temos 2,5 voltas, ou seja, no intervalo \left\lbrack \frac{-16\pi }{3},\frac{16\pi }{3}\right\rbrack teremos 5 voltas. Como temos 2 soluções por voltas, teremos no total 10 soluções.
Leia também:
- Inequações trigonométricas
- Funções trigonométricas
- Razões trigonométricas
- Círculo trigonométrico
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-trigonometricas/