Uma inequação é uma sentença matemática expressa por uma desigualdade. Assim, em uma inequação trigonométrica temos uma desigualdade onde a incógnita aparece na forma da medida de arcos ou nos ângulos de uma função trigonométrica. São exemplos:
sen(x)\ge\frac{1}{2}
cos(x)\frac{1}{2}.
Solução:
Em uma volta, ou seja, no intervalo 0\le x\le 2\pi, cos(x)=\frac{1}{2} quando x=\frac{\pi}{3}\text{ e }x=\frac{5\pi}{2} (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 4° quadrante). Lembrando que cosseno aumenta conforme o ângulo aumenta no 1° e no 4° quadrantes, temos que cos(x)>\frac{1}{2} de 0 até \frac{\pi}{3} e de \frac{5\pi}{2} até 2\pi. Abaixo desenhamos isso no circulo trigonométrico.
Escrevendo isso para n voltas, temos que a solução será:
S=\left\lbrace x\in R\vee 2\mathit{n\pi}\le x\le \frac{\pi }{3}+2\mathit{n\pi }\text{ ou }2\mathit{n\pi }+\frac{5\pi }{2}\le x\le 2\pi +2\mathit{n\pi },\text{ para }n\in Z\right\rbrace
3) Resolva a inequação tg(x)\le\sqrt{3} no intervalo 0\le x\le 2\pi.
Lembrando que \mathit{tg}\left(x\right)=\sqrt{3} quando x=\frac{\pi }{3}\text{ e }x=\frac{4\pi }{3} (o primeiro é um ângulo notável e o segundo é o seu correspondente no 3° quadrante). Abaixo temos um esboço disso nos eixos.
Como temos que \mathit{tg}\left(x\right)> \sqrt{3} (o que não queremos) nos intervalos \frac{\pi }{3}\le x< \frac{\pi }{2} e \frac{4\pi }{3}\le x< \frac{3\pi }{2}, então nosso resultado estará no restante do intervalo do círculo (como descrito na figura abaixo).
Logo a solução será:
S=\left\lbrace x\in R\vee 0\le x\le \frac{\pi }{3}\text{ ou }\frac{\pi }{2}< x\le \frac{4\pi }{3}\text{ ou }\frac{3\pi }{2}< x\le \frac{4\pi }{3}\right\rbrace
4) (UEG – adaptado) Qual o conjunto solução da inequação \mathit{sen}\left(x\right)\cos \left(x\right)\le 0, no intervalo 0\le x\le 2\pi, para x real?
Solução:
Lembrando que
\mathit{sen}\left(2x\right)=2\mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)\leftrightarrow \mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)=\frac{\mathit{sen}\left(2x\right)}{2}
Logo:
\mathit{sen}\left(x\right)\mathrm{.}\cos \left(x\right)\le 0\leftrightarrow \frac{\mathit{sen}\left(2x\right)}{2}\le 0\leftrightarrow \mathit{sen}\left(2x\right)\le 0
Mas, \mathit{sen}\left(a\right)< 0 no 3° e 4° quadrantes, ou seja, no intervalo \pi \le x\le 2\pi e \mathit{sen}\left(a\right)=0 quando a=\pi \text{ ou }a=2\pi.
Logo, se a = 2x o conjunto solução será:
S=\left\lbrace x\in R\vee \frac{\pi }{2}\le x\le \pi \text{ ou }\frac{3\pi }{2}\le x\le 2\pi \right\rbrace
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/inequacoes-trigonometricas/