Vamos considerar as forças de atrito atuando entre as superfícies de um objeto num plano inclinado. Observe a figura01:
Figura 01: diagrama de forças em um bloco sobre um plano inclinado, incluindo a força de atrito.
A força de atrito estático Fate é dada pelo produto do coeficiente de atrito estático µe com a normal N:
Fate = µe.N
E a força de atrito cinético Fatc é dada pelo produto do coeficiente de atrito cinético µc com a normal N:
Fatc = µc.N
Deste modo, podemos observar que, para um objeto não deslizar em um plano inclinado, o coeficiente de atrito estático tem de ser maior que o valor da tangente do ângulo θ. Isto pode ser obtido isolando o coeficiente de atrito estático da expressão para a força de atrito estático. Veja:
µe = Fate/N
Quando o móvel está na iminência de deslizar, a força de atrito estático é igual ao valor da força Px.
Se:
Px = Fate
Então
Fate = P.senθ
Sabendo que
Py = N
Que equivale à relação
N = P.cosθ
O coeficiente de atrito estático então é dado por:
µe = P.senθ/P.cosθ
µe = senθ/cosθ
Como
Tgθ = senθ/cosθ
Então
µe = tgθ
Como queríamos demonstrar. Procede-se da mesma forma para obter o coeficiente de atrito cinético para o qual o objeto desliza neste plano com velocidade constante.
Referências bibliográficas:
HALLIDAY, David, Resnik Robert, Krane, Denneth S. Física 1, volume 1, 4 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1996. 326 p.