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Matemática Financeira

Juros Simples e Compostos

Rosimar GouveiaProfessora de Matemática e Física

Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante um período de tempo.

O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.

Diferença entre juros simples e compostos

Enquanto nos juros simples a correção aplicada em todo o período leva em consideração apenas o valor inicial envolvido, nos juros compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.

Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre um valor que também já foi corrigido.

Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com que o valor final a ser recebido ou pago seja bem maior que o valor inicialmente aplicado ou emprestado.

A grande maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se restringem as operações de curto período de tempo.

Fórmula de juros simples

Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:

Sendo,

J: juros C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem) t: período da transação

Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado (no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.

Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:

Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:

A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em função do tempo.

VEJA TAMBÉM: Juros Simples

Exemplo

Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema de juros simples?

Solução

Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.

C = R$ 1 000,00 J = R$ 25,00 t = 1 mês i = ?

Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:

Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:

i = 2,5.12= 30% ao ano

VEJA TAMBÉM: Exercícios de Juros Simples

Fórmula de juros compostos

O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:

Sendo,

M: montante C: capital i: taxa de juros t: período de tempo

Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.

VEJA TAMBÉM: Juros Compostos

Exemplo

Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.

Solução

Identificando as informações dadas, temos:

C = 2 000 i = 4% ou 0,04 ao trimestre t = 1 ano = 4 trimestres M = ?

Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:

Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.

VEJA TAMBÉM: Porcentagem

Equivalência de capitais

Em Matemática financeira é fundamental termos em mente que as quantias envolvidas em uma transação serão deslocadas no tempo.

Diante deste fato, fazer uma análise financeira implica comparar valores presentes com os valores futuros. Assim, devemos ter uma forma de fazer a equivalência de capitais em diferentes momentos.

Quando calculamos o montante, na fórmula de juros compostos, estamos encontrando o valor futuro para períodos de tempo n, segundo uma taxa i, a partir de um valor presente.

Isto é feito através da multiplicação do termo (1+i)n pelo valor atual, ou seja:

Ao contrário, se quisermos encontrar o valor presente conhecendo o valor futuro, iremos fazer uma divisão, isto é:

Exemplo:

Para comprar uma moto aproveitando um ótimo preço, uma pessoa pediu um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma financeira a juros mensais de 15%. Dois meses depois, pagou R$ 3 000,00 e liquidou a dívida no mês seguinte.

Qual foi o valor da última prestação pago pela pessoa?

Solução

Se a pessoa conseguiu liquidar o valor devido pelo empréstimo, então o valor pago na primeira parcela mais a segunda parcela são iguais ao valor devido.

Entretanto, as parcelas foram corrigidas ao longo do período por juros mensais. Sendo assim, para igualar essas quantias temos que conhecer seus valores equivalentes em uma mesma data.

Iremos fazer a equivalência considerando o momento do empréstimo, conforme o esquema abaixo:

Portanto, o último pagamento efetuado foi de R$ 5 675,25.

VEJA TAMBÉM: Exercícios de Porcentagem

Exercícios Resolvidos

1) Enem - 2018

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Neste caso, paga-se o valor presente, que é o valor naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para e 0,0131 como aproximação para ln (1,0132). A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a

a) 56ª b) 55ª c) 52ª d) 51ª e) 45ª

Na questão proposta, queremos descobrir qual a parcela que, aplicando a redução de juros ao pagar antecipadamente, o valor pago tenha um desconto superior 25%, ou seja:

Simplificando a fração (dividindo em cima e embaixo por 25), descobrimos que o valor a ser pago pela parcela antecipada deve ser:

A parcela antecipada corresponde ao valor futuro corrigido para o valor presente, ou seja, descontado os juros de 1,32% ao pagar essa parcela antes do prazo, isto é:

Onde n é igual ao período que será antecipado. Substituindo essa expressão na anterior, temos:

Como aparece 820 em ambos os lados da desigualdade, podemos simplificar, "cortando" esse valor:

Podemos inverter as frações, tendo o cuidado de também inverter o sinal da desigualdade. Assim, nossa expressão fica:

Observe que o valor que queremos descobrir está no expoente (n). Sendo assim, para resolver a inequação aplicaremos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da inequação, ou seja:

Aplicando a propriedade de logaritmo de uma potência, temos:

Agora, podemos substituir pelos valores indicados no enunciado e encontrar o valor do n.

Como n deve ser maior que o valor encontrado, então teremos que antecipar 22 parcelas, ou seja, pagaremos a 30ª parcela junto com a 52ª ( 30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52ª

Ver Resposta

2) Enem - 2017

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas iguais a P.

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

Para ver a resolução desta questão, assista o vídeo abaixo.

Questão Juros Compostos VEJA TAMBÉM: Matemática Financeira Rosimar GouveiaBacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.