Vértice da Parábola
Rosimar GouveiaProfessora de Matemática e FísicaO vértice da parábola corresponde ao ponto em que o gráfico de uma função do 2º grau muda de sentido. A função do segundo grau, também chamada de quadrática, é a função do tipo f(x) = ax2 + bx + c.
Usando um plano cartesiano, podemos traçar o gráfico de uma função quadrática considerando os pontos de coordenadas (x,y) que pertencem a função.
Na imagem abaixo, temos o gráfico da função f(x) = x2 - 2x - 1 e o ponto que representa seu vértice.
Coordenadas do Vértice
As coordenadas do vértice de uma função quadrática, dada por f(x) = ax2 + bx +c, podem ser encontradas através das seguintes fórmulas:
Sendo Δ = b2 - 4.a.c
Exemplo
Encontre as coordenadas do vértice da função f(x) = - x2 + 4x - 2.
SoluçãoPara encontrar as coordenadas do vértice, aplicaremos as fórmulas acima. Para isso, vamos calcular o valor do Δ, considerando a = - 1, b = 4 e c = - 2. Assim temos:
Δ = 42 - 4 . (- 1). (- 2) = 16 - 8 = 8
Substituindo os valores, encontramos:
Portanto, o ponto do vértice tem coordenadas V (2, 2), conforme indicado na imagem abaixo:
VEJA TAMBÉM: Fórmula de BhaskaraValor máximo e mínimo
De acordo com o sinal do coeficiente a da função do segundo grau, a parábola poderá apresentar sua concavidade voltada para cima ou para baixo.
Quando o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola estará para baixo. Neste caso, o vértice será o máximo valor atingido pela função.
Para funções com coeficiente a positivo, a concavidade estará voltada para cima e o vértice representará o mínimo valor da função.
Imagem da função
Como o vértice representa o ponto máximo ou mínimo da função do 2º grau, ele é usado para definir o conjunto imagem desta função, ou seja, os valores de y que pertencem a função.
Desta forma, existem duas possibilidades para o conjunto imagem da função quadrática:
- Para a > 0 o conjunto imagem será:
- Para a
Por exemplo, para definir a imagem da função f(x) = x2 + 2 x - 3, devemos encontrar o valor do y do vértice da função. Aplicando a fórmula, descobrimos que o valor do yv é - 4.
Como o coeficiente a da função é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima, Então, este ponto será o valor mínimo da função, conforme indicado na imagem abaixo:
Portanto, todos os valores assumidos pela função serão maiores que - 4. Assim, f(x) = x2 + 2x - 3 terá conjunto imagem dado por:
VEJA TAMBÉM: Função QuadráticaQuestões Resolvidas
1) Enem - 2015
Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = - h2 + 22 h - 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.
A função T(h) = - h2 + 22 h - 85 possui coeficiente a
Como o problema nos informa que o número de bactérias é o maior possível quando a temperatura máxima, então esse valor será igual ao y do vértice. Assim:
Identificamos na tabela que esse valor corresponde a temperatura alta.
Alternativa: d) alta.
Ver Resposta2) UERJ - 2016
Observe a função f, definida por: f (x) = x2 - 2kx + 29, para x ∈ IR. Se f (x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
a) 5 b) 6 c) 10 d) 15
A função f (x) = x2 - 2kx + 29 possui coeficiente a > 0, logo seu valor mínimo corresponde ao vértice da função, ou seja, yv = 4.
Considerando essa informação, podemos aplicar na fórmula do yv. Assim, temos:
Como a questão pede o valor positivo de k, então iremos desprezar o -5.
Alternativa: a) 5
Ver Resposta