Um objeto realiza uma trajetória circular com velocidade angular (\omega) variável ao longo do tempo. Assim, da mesma forma que há a aceleração escalar para caracterizar como velocidade escalar varia ao longo de tempo, temos também a aceleração angular.
Então, um objeto que sofre uma variação da velocidade angular \Delta\omega em um determinado intervalo de tempo \Delta t tem a seguinte aceleração angular média \gamma_m:
\gamma_m = \frac{\omega_f - \omega_i}{t-t_0}
\gamma_m = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}
Quanto mais aproximamos os valores do tempo final e inicial do intervalo de tempo da trajetória, mais próximos ficamos de 0, ou seja, do valor a aceleração instantânea (γ):
\gamma = \underset{\Delta t \to 0}{\lim} \frac{\Delta\omega}{\Delta t}
(lê-se limite de Δt tendendo a zero)
Lembrando que, uma vez que a velocidade angular é dada em rad/s, a aceleração angular será dada em rad/s².
Da relação entre espaço linear e angular, mencionada no início do texto, temos:
\theta = \frac{S}{R}
Que resulta em:
v = \omega R
Ou
\omega = \frac{v}{R}
Para a aceleração, temos:
\Delta v = \Delta\omega R
\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta\omega R}{\Delta t}
Então:
\alpha = \gamma R
Ou
\gamma = \frac{a}{R}
Referências:
Os Fundamentos da Física – Moderna Plus. Ramalho, Nicolau e Toledo. Vol. 01. Moderna. 11ª Ed. SP. 2016