Mesmo que mantenha sua velocidade angular constante, há uma força resultante mantendo esse movimento. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a essa força está associada uma aceleração – no caso, centrípeta. Ou seja, na comparação com o Movimento Uniforme, mesmo que a princípio pareça contraditório, o Movimento Circular e Uniforme é, de fato, uniforme justamente por haver um tipo de aceleração que permite que isso ocorra. A aceleração centrípeta é dada por:
\vec{a}_{cp} = \frac{v^2}{R}
Onde:
- v é a velocidade escalar do objeto
- R é o raio da circunferência descrita.
Como a aceleração centrípeta tem direção e sentido, é uma grandeza vetorial.
Da relação
v = \omega RPodemos reescrever a aceleração centrípeta como:
\vec{a}_{cp} = \frac{(\omega R)^2}{R}
\vec{a}_{cp} = \omega^2 R
No entanto, também é possível que o objeto se mantenha em trajetória circular e tenha velocidade angular variável ao longo da trajetória. Assim, a aceleração angular média é a variação da velocidade angular no intervalo de tempo.
A aceleração calculada dessa forma é chama de aceleração angular média porque entre o intervalo de tempo usado, a velocidade pode apresentar valores diferentes do final ou do inicial. No entanto, se aproximarmos os instantes final e inicial cada vez mais, maiores são as chances de a velocidade sofrer variações cada vez menor. Assim, o Δt fica cada vez menor, cada vez mais próximo de 0 (mas nunca sendo 0, em absoluto). Teremos então a aceleração escalar instantânea.
\gamma_m = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}
Aceleração angular média
\displaystyle \gamma = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \omega}{\Delta t}
Aceleração angular instantânea (lê-se limite de Δt tendendo a zero).
Da relação entre grandezas escalar e angular (v = \omega R), temos:
\Delta v = \Delta \omega R
a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\gamma_m = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}
\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \cdot R
a = \gamma R
Ou
\gamma = \frac{a}{R}
Assim, podemos estabelecer uma relação entre as grandezas escalar e angular nas equações horárias de seus respectivos movimentos:
\omega = \frac{v}{R}Função horária da velocidade:
v = v_0 + a \cdot t
\frac{v}{R} = \frac{v_0}{R} + \frac{a}{R} \cdot t
\omega = \omega_0 + \gamma \cdot t
Função horária angular da velocidade
Função horário do espaço:
S = S_0 + v_0 \cdot t + \frac{a}{2} \cdot t^2
\frac{S}{R} = \frac{S_0}{R} + \frac{v_0}{R} \cdot t + \frac{a}{2R} \cdot t^2
\theta= \theta_0 + \omega_0 \cdot t + \frac{\gamma}{2}\cdot t^2
Função horária angular do espaço
Equação de Torricelli:
v^2 = v_{0}^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta S
\frac{v^2}{R} = \frac{v_{0}^2}{R} + 2 \frac{a}{R} \cdot \Delta S
\omega^2 = \omega_{0}^2 + 2\gamma\Delta S
Equação de Torricelli para o Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)
Referências:
Os Fundamentos da Física – Moderna Plus. Ramalho, Nicolau e Toledo. Vol. 01. Moderna. 11ª Ed. SP. 2016