Um movimento uniforme é aquele onde um objeto percorre distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. Quando essa trajetória é circular, temos o Movimento Circular Uniforme (MCU). Neste caso, como é um círculo e há uma distância percorrida em intervalos iguais, o movimento é periódico, cíclico.
A partir do Movimento Uniforme (MU), temos:
v = \frac{\Delta S}{\Delta t}
Sendo o círculo completo, em radianos, dado por: 2\pi R.
E sendo o período (T) o intervalo de tempo de um ciclo e a frequência (f) quantos ciclos são realizados em uma unidade de tempo. Assim:
f = \frac{1}{T}
ou
T = \frac{1}{f}
Então, em termos escalar:
v = 2\pi R \cdot f
No movimento uniforme, as distâncias percorridas são lineares e no movimento circular, além de trajetória linear (ΔS), o objeto descreve um ângulo θ, formando um círculo de raio R. O ângulo θ é dado em radianos e se relaciona com o espaço linear descrito e o raio R do círculo.
S = \theta \cdot R
ou
\theta = \frac{S}{R}
Assim, da função horária do espaço, temos:
S = S_i + v \cdot t
Da relação com o raio:
\frac{S}{R} = \frac{S_i}{R} + \frac{v}{R}\cdot t
Eis a função horária angular do Movimento Circular e Uniforme (MCU):
\theta = \theta_i + \omega \cdot t
Onde:
- \theta é o espaço angular final;
- \theta_i é o espaço angular inicial;
- \omega é a velocidade angular nessa trajetória.
Lembrando que o espaço angular é dado em radianos (rad). Então, a velocidade angular é dada é rad/s.
Se o objeto completa uma volta inteira, a espaço é dado por 2\pi. Então, a posição inicial é zero e o tempo é o mesmo que um período (T) – o objeto realiza um ciclo em uma unidade de tempo.
Então:
2\pi = 0+\omega \cdot T
\omega = \frac{2\pi}{T}
Ou, da relação com a frequência:
\omega = 2\pi \cdot f
De
v = \frac{2\pi R}{T}
Percebemos que:
v = \omega \cdot R
Ou:
\omega = \frac{v}{R}
Para que o objeto se mantenha na trajetória circular há uma força resultante mantendo esse movimento. De acordo com a Segunda Lei de Newton, a essa força está associada uma aceleração – no caso, centrípeta. Ou seja, na comparação com o MU, mesmo que a princípio pareça contraditório, o Movimento Circular e Uniforme é, de fato, uniforme justamente por haver um tipo de aceleração que permite que isso ocorra. A aceleração centrípeta é dada por:
\vec{a}_{cp} = \frac{v^2}{R}
Onde:
- v é a velocidade escalar do objeto
- R é o raio da circunferência descrita.
Como a aceleração centrípeta tem direção e sentido, é uma grandeza vetorial.
Da relação
v = \omega R
Podemos reescrever a aceleração centrípeta como:
\vec{a}_{cp} = \frac{(\omega \cdot R)^2}{R}
\vec{a}_{cp} = \omega^2 \cdot R
Referência:
Vereda Digital – Física. Nicolau, Torres e Penteado. Vol. Único. Moderna. 01ª Ed. SP. 2014