O algoritmo de Briot-Ruffini (também chamado de dispositivo prático de Briot-Ruffini) é uma maneira simplificada para efetuarmos a divisão entre polinômios. Antes de apresentarmos o método, vamos recordar alguns conceitos sobre polinômios.
Teorema do Resto
Dado um polinômio P(x), existem um único quociente Q(x) e um único resto r(x) pela divisão de P(x) por um binômio (x-a). Ou seja:
P(x)=Q(x)\cdot (x-a)+r(x)
Sendo o grau de r(x) menor que o grau de Q(x). Em termos mais simples, significa que o resto r(x) da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x-a) é igual a P(a). Esse fato é simples de demonstrar:
P(a)=Q(a)\cdot (a-a)+r(a)
P(a)=Q(a)\cdot 0+r(a)
P(a)=r(a)
O Algoritmo
De modo mais simples, se quisermos dividir um polinômio P(x) por um binômio (x-a), podemos usar o dispositivo prático de Briot-Ruffini “clássico”. Veremos agora com exemplos como funciona o passo-a-passo deste método. Seja o polinômio:
P(x)=2x^3-3x^2+2x-1
E suponha que queremos que ele seja dividido por (x-1). Podemos também verificar se x-1=0 pode ser uma raiz de P(x). Caso seja, o resto dessa divisão será zero pelo teorema do resto:
x-1=0
x=1
Substituindo temos:
P(1)=2(1)^3-3(1)^2+2(1)-1=0
Então o a divisão de P(x) por este binômio terá resto r(x)=0. Sendo assim, vamos iniciar com o algoritmo de Briot-Ruffini:
(1º) Desenhe uma cruz desta maneira:
(2º) No primeiro espaço à esquerda, escreva o valor de a do binômio (x-a) que queremos dividir, que no nosso caso, a=1:
| 1 | ||||
(3º) Agora, escreva apenas os coeficientes do polinômio P(x) em ordem, desta forma:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
Atente-se ao sinal dos coeficientes!
(4º) Depois, iremos reescrever o primeiro coeficiente do polinômio logo abaixo do que já está escrito, ou seja, vamos “abaixar o coeficiente”:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
| 2 |
(5º) Após isto, devemos multiplicar o valor da raiz do divisor (a=1) pelo primeiro coeficiente escrito abaixo (o 2 que abaixamos) e logo em seguida, somar o resultado dessa multiplicação com o coeficiente seguinte (acima), no caso o -3, e colocar o resultado final logo abaixo do coeficiente -3. Observe:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
| 2 | -1 |
Ou seja:
(1 ⋅ 2)+(-3) = 2-3 = -1
(6º) Repetimos este passo, mas agora com o -1 obtido, veja:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
| 2 | -1 | 1 |
Ou seja:
[1 ⋅ (-1)]+(2) = -1+2 = 1
(7º) E por ultimo:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
| 2 | -1 | 1 | 0 |
Que nos dá:
(1 ⋅ 1) + (-1) = 1 - 1 = 0
(8º) Quando alcançarmos a ultima coluna preenchida como acima, significa que a nossa divisão acabou. Então agora podemos saber o resto e o quociente da nossa divisão. Fazemos então uma linha na ultima coluna, assim:
| 1 | 2 | -3 | 2 | -1 |
| 2 | -1 | 1 | 0 | |
| Q(x) | r(x) | |||
Os coeficientes à esquerda desta linha, são os mesmos coeficientes do polinômio quociente da divisão Q(x) e o valor à direita que está isolado é o resto da divisão r(x). Como já sabíamos, pelo teorema do resto, que o resto seria zero nesta divisão, então confirmamos este fato pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini. O resultado ficou:
Q(x)=2x^2-1x+1
r(x)=0
Podemos conferir se isso é verdade pelo teorema do resto. Dado Q(x) e r(x), é fácil verificar se:
P(x)=Q(x)\cdot (x-a)+r(x)
Conferindo:
P(x)=(2x^2-1x+1)\cdot(x-1)+0
P(x)=2x^3-2x^2-x^2+x+x-1
P(x)=2x^3-3x^3+2x-1
Logo, a divisão está correta e P(x) é divisível por (x-1) com resto igual a 0.
Leia mais:
- Divisão de polinômios
- Subtração de polinômios
- Adição de polinômios
- Multiplicação de polinômios
- Função polinomial
Referências bibliográficas:
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. Volume 3. São Paulo: Editora Ática, 2011.
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
RPM 34 - http://www.rpm.org.br/cdrpm/34/3.htm
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/algoritmo-de-briot-ruffini/