Equações diferenciais são ferramentas importantes para diversos ramos das ciências exatas. Com elas é possível descrever e formular diversos tipos de sistemas físicos numa linguagem matemática, o que possibilita uma imensa gama de aplicações em modelos concretos. Nesse artigo veremos algumas das suas aplicações.
Decaimento Radioativo
Na física atômica, o decaimento radioativo é bem definido usando EDOs. A medida de estabilidade de um determinado elemento é chamada de meia-vida. A meia-vida de um elemento é simplesmente o tempo necessário para que metade dos átomos de uma quantidade inicial N0 se desintegre ou se transforme em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de um elemento, mais estável ela é. Por exemplo, o isótopo de Urânio U-238 possui meia vida de 4,5 bilhões de anos, ou seja, metade de uma quantidade desse isótopo será transmutada em Chumbo Pb-206. Vejamos abaixo um estudo sobre o decaimento do U-238 usando EDO.
1) Um reator converte Urânio 238 em isótopo de Plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial N0 de Plutônio se desintegrou. Vamos encontrar a meia-vida desse isótopo, dada a taxa de desintegração que é proporcional à quantidade remanescente.
Seja N(t) a quantidade de Plutônio remanescente num instante 𝑡. Usando a solução para um problema de valor inicial onde:
\frac{dN\left(t\right)}{\mathit{dt}}=\mathit{kN},N\left(0\right)={N}_{0}
É dada por:
N\left(t\right)={N}_{0}{e}^{\mathit{kt}}
Como enunciado, 0,043% dos átomos da quantidade {N}_{0} se desintegrou, então nos resta 99,957% do elemento. Para calcularmos o valor de k usamos:
{N\left(15\right)=N}_{0}{e}^{15k}={\mathrm{0,99957}N}_{0}
Resolvendo, temos:
{{N}_{0}e}^{15k}={\mathrm{0,99957}N}_{0}
{e}^{15k}=\mathrm{0,99957}
15k=\ln \left(\mathrm{0,99957}\right)
k=\frac{\ln \left(\mathrm{0,99957}\right)}{15}=-\mathrm{0,00002867}
Encontrando então o valor da constante k. Agora, substituindo na equação:
{N\left(t\right)=N}_{0}{e}^{\left(-\mathrm{0,00002867}\right)t}
Como a meia-vida é dado pelo instante onde:
N\left(t\right)=\frac{{N}_{0}}{2}
Então, vamos calcular o valor de tna equação acima:
\frac{{N}_{0}}{2}={N}_{0}{e}^{\left(-\mathrm{0,00002867}\right)t}
\frac{1}{2}={e}^{\left(-\mathrm{0,00002867}\right)t}
t=\frac{\ln 2}{\mathrm{0,00002867}}=\mathrm{24.176,74}\mathit{anos}
Crescimento de uma Colônia de Bactérias
Em uma colônia de bactérias com população inicial de {B}_{0}bactérias, foi observado uma hora depois (t=1) que o número de bactérias passou a ser {\left(3/2\right)B}_{0}. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias numa amostra, vamos determinar o tempo necessário para que o número de bactérias seja o triplo do valor inicial. Dado o PVI:
\frac{dB\left(t\right)}{\mathit{dt}}=kB,B\left(0\right)={B}_{0}
E usando a condição:
{B\left(1\right)=\frac{3}{2}B}_{0}
Devemos primeiramente encontrar o valor da constante k.
\frac{dB\left(t\right)}{\mathit{dt}}-\mathit{kB}=0
Multiplicando o fator de integração em ambos os lados da equação, obtemos a expressão:
\frac{d}{\mathit{dt}}\left\lbrack {e}^{-\mathit{kt}}B\right\rbrack =0
E derivando, obtemos:
{e}^{-\mathit{kt}}B=C\rightarrow B\left(t\right)={Ce}^{\mathit{kt}}
Como temos interesse em descobrir o valor de k no instante t=1, fazemos:
{{{B}_{0}e}^{k}=\frac{3}{2}B}_{0}
k=\ln \left(\frac{3}{2}\right)=\mathrm{0,4055}
Obtendo assim, a expressão:
{B\left(t\right)=B}_{0}{e}^{\mathrm{0,4055}t}
Como queremos encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias seja triplicado, fazemos:
{3{B}_{0}={B}_{0}e}^{\mathrm{0,4055}t}
t=\frac{\ln 3}{\mathrm{0,}4055}\approx \mathrm{2,71}\mathit{horas}
Referências bibliográficas:
ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais Com Aplicações em Modelagem. São Paulo – Cengage Learning, 2016.
BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.
ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/aplicacoes-das-equacoes-diferenciais/