Se você está familiarizado com equações do 2º grau e com sistemas de equações, então podemos unir os dois conceitos num só, o que nos possibilita a resolução de sistemas de equações do 2º grau. Não é difícil resolver um sistema desta forma, mas vale lembrar que o conhecimento da Fórmula de Bhaskara e o de resolução de sistemas lineares serão importantes. Vamos aos exemplos:
Exemplo 1) A soma de dois números é 6, e o produto entre eles é igual a -16. Determine quais são esses números:
\begin{cases}x+y=6\\x\cdot y=-16\end{cases}
Pelo método da substituição, podemos dizer que, a partir da primeira equação:
x+y=6
y=6-x
E substituindo o valor de y na equação 2, obtemos:
x\cdot y=-16
x\cdot \left(6-x\right)=-16
6x-x\mathrm{{^2}}=-16
-x\mathrm{{^2}}+6x+16=0
Resolvendo essa equação do segundo grau:
\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}
\Delta=\left(6\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(16\right)
\Delta=36+64
\Delta=100
Obtendo as raízes {x}_{1} e {x}_{2}:
x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}
x=\frac{-\left(6\right)\pm \sqrt{100}}{2\cdot \left(-1\right)}
x=\frac{-6\pm 10}{-2}\Rightarrow \begin{cases}{x}_{1}=-2\\{x}_{2}=8\end{cases}
Substituindo {x}_{1} na segunda equação, temos:
{x}_{1}=-2\Rightarrow {x}_{1}\cdot {y}_{1}=-16
\left(-2\right)\cdot {y}_{1}=-16
{y}_{1}=\frac{16}{2}=8
E também {x}_{2}:
{x}_{2}=8\Rightarrow {x}_{2}\cdot {y}_{2}=-16
8{y}_{2}=-16
{y}_{2}=\frac{-16}{8}=-2
O conjunto solução dessa equação então será:
S=\left\lbrace\left({x}_{1},{y}_{1}\right);\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace\left(-\mathrm{2,8}\right);\left(8,-2\right)\right\rbrace
Exemplo 2) Num retângulo, a medida de um dos lados é x e do outro y, como a figura abaixo:
Sabe-se que o perímetro desse retângulo vale 64 m e a área é igual a 192 m². Determine os lados x e y desse retângulo.
Para resolver, devemos inicialmente escrever o sistema de equações do problema, que será:
\begin{cases}2x+2y=64\\x\cdot y=192\end{cases}
Isolando, na segunda equação, a variável y:
x\cdot y=192
y=\frac{192}{x}
E reinserindo na primeira equação, obtemos:
2x+2\left(\frac{192}{x}\right)=64
2x+\left(\frac{384}{x}\right)=64
2x\mathrm{{^2}}+384=64x
2x\mathrm{{^2}}-64x+384=0
Resolvendo essa equação do segundo grau:
\Delta=b\mathrm{{^2}}-4\mathit{ac}
\Delta=\left(-64\right)\mathrm{{^2}}-4\cdot \left(2\right)\cdot \left(384\right)
\Delta=4096-3072
\Delta=1024
Obtendo as raízes {x}_{1}e {x}_{2}:
x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}
x=\frac{-\left(-64\right)\pm \sqrt{1024}}{2\cdot \left(2\right)}
x=\frac{64\pm 32}{4}\Rightarrow \begin{cases}{x}_{1}=24\\{x}_{2}=8\end{cases}
Substituindo {x}_{1} na segunda equação, temos:
{x}_{1}=24\Rightarrow {x}_{1}\cdot {y}_{1}=192
24{y}_{1}=192
{y}_{1}=\frac{192}{24}=48
E {x}_{2}, obtemos:
{x}_{2}=8\Rightarrow {x}_{2}\cdot {y}_{2}=192
8{y}_{2}=192
{y}_{2}=\frac{192}{8}=24
Agora, para sabermos qual é o conjunto solução exato, devemos nos lembrar das condições dadas pelo exercício. Uma delas é que o perímetro desse retângulo é igual a 64. Substituindo as duas soluções encontradas, obtemos valores diferentes, ou seja:
{2x}_{1}+2{y}_{1}=2\cdot \left(24\right)+2\cdot \left(48\right)=144\ne 64
{2x}_{2}+2{y}_{2}=2\cdot \left(8\right)+2\cdot \left(24\right)=64
Então, o conjunto solução dessa equação será:
S=\left\lbrace\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\right\rbrace =\left\lbrace\left(\mathrm{8,}24\right)\right\rbrace
Referências bibliográficas:
GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2001.
DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/problemas-envolvendo-sistemas-de-equacoes-do-2o-grau/