Vimos nos artigos: Equações Diferenciais e Equações Diferenciais de 1ª Ordem uma breve introdução ao estudo das EDOs. Neste trataremos um pouco mais sobre EDOs Exatas e Lineares. Se o leitor ainda não visitou os artigos acima citados, vale a pena conferir não só esses artigos, mas também o de Equações Diferenciais Separáveis.
Equações Lineares
Vamos relembrar o conceito de uma equação linear. Uma ED é chamada de linear se é possível escrevê-la na forma:
{a}_{n}\left(x\right)\frac{{d}^{n}y}{d{x}^{n}}+{a}_{n-1}\left(x\right)\frac{{d}^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+\dots {a}_{1}\left(x\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+{a}_{0}\left(x\right)y=g\left(x\right)
Em outros termos, podemos classificar as EDs lineares de 1ª ordem com duas propriedades:
a) A variável dependente de y e todas as suas derivadas são do primeiro grau, ou seja, n=1.
b) Cada coeficiente depende apenas da variável independente x.
Em outras palavras, uma equação diferencial de 1ª ordem da forma:
{a}_{1}\left(x\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+{a}_{0}\left(x\right)y=g\left(x\right)
É linear.
Dividindo a equação pelo seu coeficiente {a}_{1}\left(x\right), obtemos uma forma mais útil para uma ED linear:
\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+P\left(x\right)y=F\left(x\right)
Onde devemos procurar uma solução em um intervalo I em que as funções P\left(x\right)e F\left(x\right)sejam contínuas.
Fator de Integração \mu \left(x\right)
Usando diferenciais podemos escrever a equação acima como:
\mathit{dy}+\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0
As EDOs lineares possuem uma propriedade na qual podemos sempre encontrar uma função \mu \left(x\right)que é uma EDO exata, ou seja:
\mu \left(x\right)\mathit{dy}+\mu \left(x\right)\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0
Sendo assim, se:
\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial x}=\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial y}\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack
\frac{\partial \mu \left(x\right)}{\partial x}=\frac{\partial \mu \left(x\right)P\left(x\right)y}{\partial y}-\frac{\partial \mu \left(x\right)F\left(x\right)}{\partial y}
\frac{d\mu \left(x\right)}{dx}=\mu \left(x\right)P\left(x\right)
Que é uma EDO separável. Logo, a sua solução será:
\int \frac{d\mu \left(x\right)}{\mu \left(x\right)}=\int P\left(x\right)\mathit{dx}
\ln \left\vert \mu \left(x\right)\right\vert =\int P\left(x\right)\mathit{dx}
\mu \left(x\right)={e}^{\int P\left(x\right)\mathit{dx}}
Para reduzir a nossa notação, podemos escrever a expressão acima como:
\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack
Então, a função\mu \left(x\right) que encontramos acima é chamada de fator de integração para a EDO linear. Se substituirmos \mu \left(x\right)na expressão:
\mu \left(x\right)\mathit{dy}+\mu \left(x\right)\left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0
\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack \mathit{dy}+\exp \left\lbrack \int P\left(x\right)\mathit{dx}\right\rbrack \left\lbrack P\left(x\right)y-F\left(x\right)\right\rbrack \mathit{dx}=0
Obtemos como resultado:
y=\frac{1}{\mu \left(x\right)}\left\lbrack \mu \left(x\right)\cdot F\left(x\right)\mathit{dx}+C\right\rbrack
Vejamos exemplos de suas aplicações:
1 – Vamos obter uma solução para a EDO:
x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-4y={x}^{6}{e}^{x}
Multiplicando toda a equação por 1/x temos:
\left(x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-4y\right)\frac{1}{x}=\left({x}^{6}{e}^{x}\right)\frac{1}{x}
\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-\frac{4}{x}y={x}^{5}{e}^{x}
Pela definição:
\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}+P\left(x\right)y=F\left(x\right)\rightarrow \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-\frac{4}{x}y={x}^{5}{e}^{x}
Então:
\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack \int \frac{-4}{x}\mathit{dx}\right\rbrack
\mu \left(x\right)=\exp \left\lbrack -4\ln \left\vert x\right\vert \right\rbrack
\mu \left(x\right)={x}^{-4}
Usando:
y=\frac{1}{\mu \left(x\right)}\left\lbrack \int \mu \left(x\right)\cdot F\left(x\right)\mathit{dx}+C\right\rbrack
y=\frac{1}{{x}^{-4}}\left\lbrack \int {x}^{-4}\cdot {x}^{5}{e}^{x}\mathit{dx}+C\right\rbrack
y={x}^{4}\left\lbrack \int x\cdot {e}^{x}\mathit{dx}\right\rbrack +{x}^{4}C
O resultado desta integral, pelo método de integração por partes, temos:
\int x\cdot {e}^{x}\mathit{dx}=x\cdot {e}^{x}-{e}^{x}
Substituindo, temos:
y={x}^{4}\left\lbrack x\cdot {e}^{x}-{e}^{x}\right\rbrack +{x}^{4}C
y={x}^{5}\cdot {e}^{x}-{x}^{4}{e}^{x}+{x}^{4}C
Que é o resultado de nossa EDO.
Equações Exatas
São chamadas de EDOs exatas as que podem ser escritas da forma:
M\left(x,y\right)+N\left(x,y\right)\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0
Onde as funções M\left(x,y\right)e N\left(x,y\right)satisfazem a igualdade:
\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}
Função \phi \left(x,y\right)
Seja um retângulo \left\lbrace \left(x,y\right)\in R\vee \alpha < x< \beta ,\gamma < y< \delta \right\rbrace em que M\left(x,y\right),N\left(x,y\right),\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}e \frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x} são contínuas, então existe uma função \phi \left(x,y\right)tal que:
M\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}
N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}
Substituindo esses valores, temos:
\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}+\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}\cdot \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0
E pela regra da cadeia obtemos a relação abaixo:
\frac{d}{\mathit{dx}}\phi \left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}+\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}\cdot \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=0
Então, a solução geral da equação será dada por:
\phi \left(x,y\right)=C
Devemos encontrar agora a própria função \phi \left(x,y\right). Integrando a igualdade abaixo em relação a x, obtemos:
\int M\left(x,y\right)=\int \frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}
\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)
Em que h\left(y\right)é a função \phi \left(x,y\right)a ser determinada. Substituindo na igualdade abaixo:
N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{d}{\mathit{dy}}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)\right)
N\left(x,y\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)+\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}
\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=N\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)
E integrando ambos os lados da igualdade, temos:
\int \frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=\int N\left(x,y\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}\right)
N\left(x,y\right)=\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}+\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}
\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=N\left(x,y\right)-\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}
h\left(y\right)=\int \left\lbrack N\left(x,y\right)-\int \frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}\right\rbrack \mathit{dy}
Portanto, a solução geral de uma equação exata é dada por:
\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+\int N\left(x,y\right)\mathit{dy}-\int \left(\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\mathit{dx}\right)\mathit{dy}=C
Vejamos agora uma aplicação.
2 – Vamos obter a solução da EDO abaixo:
\frac{2y\left(1+x\mathrm{{^2}}\right)}{1+2x\mathrm{{^2}}}y\text{'}-\frac{2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}=1
Reescrevendo temos:
Para sabermos se a EDO é exata, devemos primeiro identificar se:
\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}
Então:
\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{-4\mathit{xy}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}
\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}=\frac{-4\mathit{xy}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}
Logo, a EDO acima é exata. Continuando, devemos encontrar uma função \phi \left(x,y\right)tal que:
M\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial x}
N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}
E por consequência:
\phi \left(x,y\right)=\int M\left(x,y\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)
Logo:
\phi \left(x,y\right)=\int \left(\frac{-2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}-1\right)\mathit{dx}+h\left(y\right)
O resultado da integral é dado por:
\int \left(\frac{-2\mathit{xy}\mathrm{{^2}}}{\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)\mathrm{{^2}}}-1\right)\mathit{dx}=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x
Substituindo:
\phi \left(x,y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x+h\left(y\right)
E como:
N\left(x,y\right)=\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}
E:
\frac{\partial \phi \left(x,y\right)}{\partial y}=\frac{2y}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}+h\text{'}\left(y\right)
Então:
\frac{2y\left(1+x\mathrm{{^2}}\right)}{1+2x\mathrm{{^2}}}=\frac{2y}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}+h\text{'}\left(y\right)
Isolando h\text{'}\left(y\right)e resolvendo a expressão, temos:
h\text{'}\left(y\right)=y
Que é uma EDO separável. Ou seja:
\frac{\mathit{dh}\left(y\right)}{\mathit{dy}}=y
\int \mathit{dh}\left(y\right)=\int y\mathit{dy}
h\left(y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2}+C
Concluindo, a solução da EDO exata será dada por:
\phi \left(x,y\right)=\frac{y\mathrm{{^2}}}{2\left(1+2x\mathrm{{^2}}\right)}-x+\frac{y\mathrm{{^2}}}{2}+C
Referências bibliográficas:
ZILL, Dennis G; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais – Volume 1. São Paulo – Pearson Makron Books, 2001.
BASSALO, José Maria FIlardo; CATTANI, Mauro Sérgio Dorsa. Elementos de Física Matemática – Volume 1. São Paulo – Livraria da Física, 2010.
ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7a Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-lineares-e-exatas/