O determinante de uma matriz é uma “operação” que associa todas as matrizes quadradas a uma constante, ou seja, transformando-a em um escalar. Esta função é importante quando queremos saber se dada uma matriz, ela possui ou não uma inversa, mas não trataremos sobre isto neste artigo. É muito importante ao leitor que visite o artigo sobre matrizes para melhor compreensão do texto. Quando nos referimos ao determinante de uma matriz A geral, lembrando: ela precisa ser quadrada, a notação para representar o seu determinante é:
\mathit{\det }A=\left\vert \begin{array}{c}{a}_{11}\\ {a}_{21}\\ \vdots \\ {a}_{m1}\end{array}\begin{array}{c}{a}_{12}\\ {a}_{22}\\ \vdots \\ {a}_{m2}\end{array}\begin{array}{c}\cdots \\ \dots \\ \ddots \\ \cdots \end{array}\begin{array}{c}{a}_{1n}\\ {a}_{2n}\\ \vdots \\ {a}_{\mathit{mn}}\end{array}\right\vert
Ou podemos simplesmente escrever:
det A = |A|
Determinante de matrizes de ordem 1
Para matrizes de ordem 1, supondo uma matriz A=[Aij]1 o seu determinante será:
\mathit{\det }A=\left\vert A\right\vert ={a}_{\mathit{ij}}
Isto significa, em termos simples, que uma matriz de ordem 1 possuirá sempre apenas um elemento (que pertence a única coluna e a única linha ao mesmo tempo), e o seu determinante será igual a este único elemento. Exemplo:
A=\left(2\right)\rightarrow \mathit{\det }A=\left\vert 2\right\vert =2
Determinante de matrizes de ordem 2 e 3 – Método de Sarrus
No caso de matrizes de ordem 2 e 3, um método muito famoso chamado de Método de Sarrus é frequentemente usado para calcular determinantes. Ele consiste basicamente na multiplicação dos elementos das diagonais formadas pelos elementos da matriz, vejamos exemplos gerais:
O determinante de uma matriz de ordem 2, A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& {a}_{12}\\ {a}_{21}& {a}_{22}\end{array}\right) será dado por:
\mathit{\det }A={a}_{11}\cdot {a}_{22}-{a}_{12}\cdot {a}_{21}
Que é a multiplicação dos termos sua diagonal principal desta matriz menos a multiplicação dos termos da diagonal secundária. Representando de uma forma gráfica, temos:
No caso de uma matriz de ordem 3, este método também funciona mas de uma forma um pouco diferente, veja:
Seja uma matriz A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}\end{array}\right), o seu determinante será:
\mathit{\det }A={a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}+{a}_{12}{a}_{23}{a}_{31}+{a}_{13}{a}_{21}{a}_{32}
-{a}_{13}{a}_{22}{a}_{31}-{a}_{12}{a}_{21}{a}_{33}-{a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}
Isto significa, em termos gráficos, que este resultado foi obtido reescrevendo, no lado direito da matriz, as colunas 1 e 2 e assim multiplicando as diagonais, similarmente ao que fizemos no caso da matriz de ordem 2, ou seja:
Note que surgiram 3 diagonais “para a direita” e 3 “para a esquerda”. No método de Sarrus, para matrizes de ordem 2 e 3, a multiplicação dos elementos das diagonais “para a direita” irão manter o seu sinal (+) e a multiplicação dos elementos das diagonais “para a esquerda” será subtraído (-).
Existe também um método para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem, chamado Teorema de Laplace. Vale a pena conferir!
Propriedades de Determinantes
1 – O determinante de uma matriz quadrada é igual ao determinante da transposta desta matriz:
\left\vert A\right\vert =\left\vert {A}^{T}\right\vert
2 – Se uma matriz A, de qualquer ordem, possui uma linha inteira ou coluna inteira, composta por zeros, então o seu determinante é igual a zero. Exemplo:
A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0
A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 4\\ 0& 2& 5\\ 0& 3& 6\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0
3 – Se uma matriz A possuir duas linhas ou duas colunas idênticas, o seu determinante também é zero.
4 – O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes.
\left\vert A\cdot B\right\vert =\left\vert A\right\vert \cdot \left\vert B\right\vert
5 – Se uma matriz possuir linhas ou colunas proporcionais, então o seu determinante também será zero. Por exemplo:
A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 4& -1\\ 3& 6& 7\end{array}\right)\rightarrow \left\vert A\right\vert =0
Note que neste exemplo, a segunda coluna é o dobro da primeira, logo seu determinante é zero.
Leia também:
- Matrizes no cotidiano
- Igualdade de matrizes
- Matriz adjunta
- Matriz inversa
- Matriz transposta
- Multiplicação de Matrizes
Referências bibliográficas:
ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. Física Matemática: Métodos Matemáticos para Engenharia e Física – 7ª Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. Álgebra Linear – 4ª Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/determinante-de-matrizes/