Existem muitos problemas práticos em que se pretende calcular de quantas formas distintas pode ser feita uma determinada escolha. Quando o problema envolve formação de agrupamentos em que cada elemento pode aparecer uma única vez, em geral os agrupamentos são de um dos dois tipos: arranjos simples ou combinações simples.
A identificação do tipo de agrupamento é um dos aspectos mais importantes na resolução de problemas de cálculo combinatório.
A partir das definições dos conceitos de arranjos simples e combinações simples, podemos estabelecer uma regra geral para essa identificação. Suponhamos um conjunto A com n elementos distintos, a partir do qual se formam agrupamentos com p elementos (p ≤ n). Temos:
Conteúdo deste artigo
- Permutação simples
- Combinação simples
- Exercícios
Permutação simples
Permutação simples é qualquer agrupamento que se pode formar com todos os elementos disponíveis no problema, usando cada um deles uma única vez, e que se diferenciam um do outro apenas pela posição em que esses elementos aparecem no agrupamento.
Indica-se: Pn
Pn = n!
Combinação simples
Se um conjunto A tem n elementos, a combinação simples de p elementos escolhidos entre esses n elementos dados (p ≤ n) é qualquer subconjunto de A com p elementos. Indica-se: Cn,p ou C_n^p.
C_n^p=C_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!\cdot p!}
Exercícios
Nos exercícios que apresentamos a seguir, você vai perceber como se aplicam, na prática, essas regras.
1. A partir de um grupo de 6 deputados e 4 senadores, de quantas formas distintas pode-se formar:
- a) uma comissão de 4 pessoas?
- b) uma comissão constituída por 3 deputados e 2 senadores?
- c) uma comissão de 4 pessoas, com pelo menos 1 senador?
- d) uma comissão de 3 pessoas, sendo um presidente, um vice-presidente e um relator?
Resolução:
Observe que, nos itens a, b e c, interessa-nos apenas quais são as pessoas distintas escolhidas ⇒ agrupamentos não ordenados ⇒ combinações simples.
No item d, interessa-nos também a ordem (cargo) em que as pessoas distintas são escolhidas ⇒ agrupamentos ordenados ⇒ arranjos simples.
a) Escolher 4 pessoas entre 10 disponíveis.
b) (Escolher 3 deputados entre os 6 disponíveis) e (escolher 2 senadores entre os 4 disponíveis).
c) Basta subtrair do total de combinações de 4 pessoas, o total de comissões em que não há nenhum senador.
Total de comissões de 4 pessoas: C4,10 = 210
Total de comissões de 4 pessoas, formadas só por deputados: C6,4 = 15
A comissão de 4 pessoas, com pelo menos 1 senador, pode ser formada de 210 – 15 = 195 maneiras.
d) Escolher 3 pessoas entre 10 disponíveis e, em seguida, ordená-las de acordo com os cargos:
A10,3 = 10 x 9 x 8 = 720
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/arranjo-ou-combinacao-como-diferenciar/