Toda expressão matemática que tenha forma \sqrt[n]{a}, com a\in\mathbb{R}_+,n\in\mathbb{N}\text{ e }n>1, recebe o nome de radical aritmético.
Em todo radical, podemos destacar:
Assim:
No radical \sqrt[3]{2}, o índice é 3, e o radicando é 2.
No radical \sqrt[5]{3}, o índice é 5, e o radicando é 3.
No radical \sqrt{7}, o índice é 2 (=raiz quadrada, o índice é omitido), e o radicando é 7.
Simplificando radicais
Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, de acordo com a propriedade \sqrt[n]{n}, esses fatores podem ser extraídos do radicando.
Em alguns casos, o expoente do radicando é maior que o índice do radical. Procura-se, então, fazer transformações convenientes no radicando, como você pode ver nas expressões abaixo.
Exemplo 1:
\sqrt{2^3}=\sqrt{2^2\cdot 2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}=2\cdot\sqrt{2}
Exemplo 2:
\sqrt[3]{10^7}=\sqrt[3]{10^3\cdot 10^3\cdot 10}=10\cdot 10\cdot\sqrt[3]{10}=100\cdot\sqrt[3]{10}
Exemplo 3:
\sqrt[3]{3^5\cdot 2^4}=\sqrt[3]{3^3\cdot 3^3\cdot 2^3\cdot 2}=3\cdot 2\cdot\sqrt[3]{18}
Exemplo 4:
\sqrt{2^4\cdot 5^3}=\sqrt{2^2\cdot 2^2\cdot 5^2\cdot 5}=2\cdot 2\cdot 5\cdot\sqrt{5}=20\cdot\sqrt{5}
Há situações, porém, em que temos necessidade de fazer uma fatoração do radicando antes de realizar a extração dos fatores. Veja alguns exemplos.
1. Simplificar a expressão \sqrt{45}.
Fatorando o radicando 45, encontramos 3^2\cdot 5. Daí, temos:
\sqrt{45}=\sqrt{3^2\cdot 5}=3\cdot\sqrt{5}
2. Qual é a forma mais simples possível de escrita da expressão \sqrt[3]{1250}?
Fatorando o radicando 1250, encontramos 2\cdot 5^4. Daí, temos:
\sqrt[3]{2\cdot 5^3\cdot 5}=5\cdot\sqrt[3]{10}
3. Sabendo que x e y são números reais positivos, simplifique a expressão \frac{2}{3}\cdot\sqrt[3]{54x^4\cdot y}
Fatorando o radicando 54, encontramos 54 = 2.33. Daí, temos:
4. Simplifique a expressão:
\sqrt{196}=\sqrt{2^2\cdot 7^2}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{7^2}=2\cdot 7 =14
5. Simplifique a expressão:
\sqrt[3]{216}=\sqrt[3]{2^3\cdot 3^3}=\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{3^3}=2\cdot 3=6
6. Simplifique a expressão:
\sqrt{360}=\sqrt{2^3\cdot 3^2\cdot 5}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}=2\cdot 3\cdot\sqrt{10}=6\sqrt{10}
Leia também:
- Racionalização de radicais
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/simplificacao-de-radicais/