Uma matriz simétrica é uma matriz que é igual à sua transposta. Para que esta definição faça sentido, apenas podemos considerar matrizes que são quadradas. De forma mais precisa, se A=[aij] é uma matriz de ordem n x n, nós dizemos que A é simétrica quando A=At.
Notem que podemos destacar algumas formas equivalentes de dizer que A é simétrica:
- A=At
- Para todos os índices i,j ∈ {1, 2, 3, ..., n}, temos que aij=aji
- As colunas de A são iguais as colunas de At
- As linhas de A são iguais às colunas de At
Exemplos:
1) Verifique se a matriz A=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack é simétrica.
A^t=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack \begin{array}{ccc}5& 1& 2\\ 1& 6& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right\rbrack =A
Logo, a matriz A é simétrica.
2) Verifique se a matriz B=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack é simétrica.
B^t=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack=\left\lbrack \begin{array}{ccc}-3& 0& 7\\ 0& 5& -1\\ 7& -1& 4\end{array}\right\rbrack =B
Logo, a matriz B é simétrica.
O conceito de matriz simétrica se aplica apenas a matrizes quadradas.
Os elementos da diagonal principal de uma matriz simétrica podem assumir valores arbitrários, porém, elementos simétricos com relação à diagonal principal são iguais.
Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/matriz-simetrica/