O Binômio de Newton refere-se a potência na forma (x + y)n , onde x e y são números reais e n é um número natural.
O desenvolvimento do binômio de Newton em alguns casos é bastante simples. Podendo ser feita multiplicando-se diretamente todos os termos.
Contudo, nem sempre é conveniente utilizar esse método, pois de acordo com o expoente, os cálculos ficarão extremamente trabalhosos.
Exemplo
Represente a forma expandida do binômio (4 + y)3:
Como o expoente do binômio é 3, vamos multiplicar os termos da seguinte forma: (4 + y) . (4 + y) . (4 + y) = (16 + 8y + y2) . (4 + y) = 64 + 48y + 12y2 + y3
Fórmula do Binômio de Newton
O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio.
Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas.
A fórmula do binômio de Newton podendo ser escrita como:
(x + y)n = Cn0 y0 xn + Cn1 y1 xn - 1+ Cn2 y2 xn - 2 +... + Cnn yn x0
ou
Sendo,
Cnp : número de combinações de n elementos tomados p a p.
n! : fatorial de n. É calculado como n = n (n - 1)(n - 2) . ... . 3 . 2 . 1
p! : fatorial de p
(n - p)! : fatorial de (n - p)
Exemplo
Efetuar o desenvolvimento de (x + y)5:
Primeiro escrevemos a fórmula do binômio de Newton
Agora, devemos calcular os números binomiais para encontrar o coeficiente de todos os termos.
Considera-se que 0! = 1
Assim, o desenvolvimento do binômio é dado por:
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10 x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Termo Geral do Binômio de Newton
O termo geral do binômio de Newton é dado por:
Exemplo
Qual é o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)5, de acordo com as potências decrescentes de x?
Como queremos T5 (5º termo), então 5 = k +1 ⇒ k = 4.
Substituindo os valores no temos geral, temos:
Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito, formado por números binomiais.
O triângulo é construído colocando-se 1 nos lados. Os demais números são encontrados somando os dois números imediatamente acima deles.
Representação do triângulo de PascalOs coeficientes do desenvolvimento de um binômio de Newton podem ser definidos utilizando o triângulo de Pascal.
Desta maneira evita-se os cálculos repetitivos dos números binomiais.
Exemplo
Determine o desenvolvimento do binômio (x + 2)6.
Primeiro é necessário identificar qual linha iremos usar para o binômio dado.
A primeira linha corresponde ao binômio do tipo (x + y)0, desta forma, usaremos a 7ª linha do triângulo de Pascal para o binômio de expoente 6.
(x + 2)6 = 1x6 + 6x5.21 + 15x4.22 + 20x3.23 + 15x2.24 + 6x1.25 + 1x0.26
Assim, o desenvolvimento do binômio ficará:
(x + 2)6= x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64
Para saber mais, leia também:
- Triângulo de Pascal
- Análise Combinatória
- Exercícios de Análise Combinatória
- Fatorial
- Probabilidade
Exercícios Resolvidos
1) Qual o desenvolvimento do binômio (a - 5)4 ?
É importante notar que podemos escrever o binômio como sendo (a + (- 5))4. Neste caso faremos como mostrado para termos positivos.
Ver Resposta2) Qual é o termo médio (ou central) no desenvolvimento de (x - 2)6?
Como o binômio está elevado à 6ª potência, o desenvolvimento tem 7 termos. Logo, o termo médio é o 4º termo.
k+1 = 4⇒ k = 3
T4 = 20x3 . (- 2)3 = - 160x3
Ver RespostaVEJA TAMBÉM: Fórmulas de Matemática
Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.