Bissetriz

A bissetriz é a semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes (ângulos com a mesma medida).

Ela é o lugar geométrico que indica o meio do ângulo, o que é feito a partir do seu vértice.

Na imagem acima, vemos que a bissetriz indica o meio do ângulo AÔB. Ela divide o ângulo AÔB em dois ângulos, o AÔC e BÔC.

Para encontrar a bissetriz basta seguir os seguintes passos utilizando o compasso:

abra um pouco o compasso e coloque a sua ponta seca no vértice do ângulo.

faça um traço de circunferência sobre as semirretas OA e OB.

com o compasso aberto, coloque a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OA e faça um traço de circunferência com o compasso virado para dentro do ângulo.

faça o mesmo, agora com a ponta seca no ponto de intersecção da semirreta OB.

trace uma semirreta do vértice do ângulo até o ponto de intersecção dos traços que acabou de fazer. A semirreta OC é a bissetriz.

Há dois tipos de bissetriz, a interna e a externa.

Teorema da Bissetriz Interna

A bissetriz interna divide um ângulo interno, de modo que os lados opostos aos lados adjacentes ficam proporcionais

Como calcular?

O lado AB é proporcional ao lado AC, tal como BD é proporcional a CD, ou seja:

AB/BD = AC/CD

Vamos calcular o valor de x do triângulo dado acima:

VEJA TAMBÉM: Ângulos Notáveis

Teorema da Bissetriz Externa

A bissetriz externa divide um ângulo externo. Tal como acontece com a bissetriz interna, os lados opostos dos ângulos externos ficam proporcionais aos lados adjacentes. A fórmula utilizada é igual em ambos os tipos de bissetriz.

Como calcular?

Primeiro encontramos a bissetriz do ângulo BCA. De seguida, traçamos um traço no seguimento da reta BC e de BA. Por fim, fazemos uma paralela à bissetriz.

Vamos calcular o valor de x do triângulo dado acima:

Leia também:

• Teorema de Tales
• Mediatriz
• Triângulo Isósceles
• Exercícios de Trigonometria

Exercícios de Vestibular

1. (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN.

O comprimento de MN é igual a 11/30.

Ver Resposta

2. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A onde AB = 21 e AC = 20. BD é a bissetriz do ângulo ABC. Quanto mede AD?

a) 42/5 b) 21/20 c) 20/21 d) 9 e) 8

Alternativa a: 42/5

Ver Resposta Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.