Distância entre dois pontos

A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une.

Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.

Distância entre dois pontos no plano

No plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele.

Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância.

Exemplos:

1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?

d(A,B) = 3 - 1 = 2

2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?

Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.

Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.

[d(A,B)]2 = 32 + 22 = √13

Fórmula da distância entre dois pontos no plano

Para encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2.

Para dois pontos quaisquer, tais como A (x1,y1) e B (x2, y2), temos:

Para saber mais, leia também:

• Geometria Plana
• Plano Cartesiano
• Retas
• Semirreta
• Segmento de Reta

Distância entre dois pontos no espaço

Usamos um sistema de coordenadas tridimensional para representar pontos no espaço.

Um ponto fica totalmente determinado no espaço quando existe uma tripla ordenada (x,y,z) associado a ele.

Para encontrar a distância entre dois pontos no espaço, inicialmente podemos representá-los no sistema de coordenadas e a partir daí, efetuar os cálculos.

Exemplo:

Qual a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?

Nesse exemplo, observamos que o ponto A e B pertencem ao plano xy.

A distância será dada por:

[d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5

Fórmula da distância entre dois pontos no espaço

Para saber mais, leia também:

• Geometria Espacial
• Equação da Reta
• Cônicas

Exercícios Resolvidos

1) Um ponto A pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e é equidistante dos pontos B (3,2) e C (-3,4). Quais são as coordenadas do ponto A?

Como o ponto A pertence ao eixo das abscissas então sua coordenada é (a,0). Assim temos que encontrar o valor de a.

(0 - 3)2 + (a - 2)2 = (0 + 3)2 + (a -4)2 9 + a2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8a + 16 4a = 12 a = 3 (3,0) são as coordenadas do ponto A.

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2) A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a.

32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2 9 = 9 + 4 - 4a +a2 a2 - 4a +4 = 0 a = 2

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3) ENEM - 2013

Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas

a) (65 ; 35) b) (53 ; 30) c) (45 ; 35) d) (50 ; 20) e) (50 ; 30)

Alternativa correta e: (50;30)

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4) ENEM - 2011

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

a) (-5,0) b) (-3,1) c) (-2,1) d) (0,4) e) (2,6)

Alternativa correta b: (-3,1)

Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Fórmulas de Matemática Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.