Exercícios de Probabilidade

Teste seus conhecimentos sobre Probabilidade com exercícios comentados, propostos e questões do Enem (Exame Nacional do Ensino Médio).

Exercícios Comentados

1) Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, determine:

a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4 b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5 c) A probabilidade de obter o mesmo número em ambos os lançamentos d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5 e) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.

Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:

Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.

Tabela 1:

1.º lançamento->

2.º lançamento

123456
1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
4(4,1)(4,2)(4,4)(4,4)(4,5)(4,6)
5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.

b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.

c) Os pares com números iguais são: (1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6). Temos então 6 casos favoráveis. A probabilidade será dada por:

d) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.

Tabela 2:

1.º lançamento->

2.º lançamento

123456
1234567
234567

8

3456789
45678910
567891011
6789101112

Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:

e) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:

2) Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?

Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente. No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:

onde:

n: número de vezes que ocorrerá a experiência k: número de vezes de acontecer um evento p: probabilidade do evento acontecer q: probabilidade do evento não acontecer

Vamos agora substituir os valores para a situação indicada. Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:

n = 7 k = 3 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)

Substituindo os dados na fórmula:

Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%

Exercícios Propostos

1) Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?

0,375 ou 37,5%

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2) Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?

0,3125 ou 31,3%

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3) Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas?

7,7%

Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Fórmulas de Matemática

Questões do Enem

1) Enem - 2012

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.

O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.

As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

Alternativa a:10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas

Ver Resposta VEJA TAMBÉM: Matemática no Enem

2) Enem - 2012

Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

CorUrna 1Urna 2
Amarela40
Azul31
Branca22
Verde13
Vermelha04

Uma jogada consiste em:

  • 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
  • 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
  • 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
  • 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?

a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha

Alternativa e: vermelha

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3) Enem - 2013

Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.

Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?

a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14

Alternativa a: 1/2

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4) Enem - 2013

Considere o seguinte jogo de apostas:

Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.

O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.

O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.

Quantidade de números

escolhidos em uma cartela

Preço da Cartela
62,00
712,00
840,00
9125,00
10250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:

  • Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
  • Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
  • Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
  • Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
  • Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

a) Caio e Eduardo b) Arthur e Eduardo c) Bruno e Caio d) Arthur e Bruno e) Douglas e Eduardo

Alternativa a: Caio e Eduardo

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Rosimar GouveiaBacharelada em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF)em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
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